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संख्यात्मक अवकलज कैलकुलेटर

रिचर्डसन बहिर्वेशन से किसी बिंदु पर फलन f(x) का पहला या दूसरा अवकलज लगभग 20 सार्थक अंकों तक निकालें। स्पर्शरेखा का चित्र भी देखें।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 6

चर x का उपयोग करें, जैसे x^3 - 2x, exp(x), ln(x)। यहाँ त्रिकोणमितीय फलन रेडियन में हैं।
और विकल्प
ग्राफ़ x₀ से दोनों ओर इतनी दूरी दिखाता है
आज़माएँ
अवकलज
अवकलज: 2.223244275484
अधिकतम दशमलव स्थान: 12; निकटतम; बराबर दूरी पर शून्य से दूर
f(x₀)
0.841470984808
स्पर्श रेखा
y = 2.223244x − 1.381773
अनुमानित त्रुटि
9.6 × 10⁻²³

x = 1 पर f की ढाल 2.2232443 है: x के छोटे चरण h से बदलने पर f लगभग 2.223 × h बढ़ता है।

x = 1 पर f और उसकी स्पर्श रेखा

024-10123xy(1, 0.841471)
f(x)स्पर्श रेखा
रिचर्डसन सारणी (केंद्रीय भागफल और सर्वोत्तम अनुमान) पंक्तियाँ: 6
hअंतर भागफलअब तक का सर्वोत्तम अनुमान
0.12.219330544382.21933054438
0.052.222266131452.22324466047
0.0252.222999757542.22324427552
0.01252.223183147132.22324427548
0.006252.223228993472.22324427548
0.0031252.223240454982.22324427548
गणना कैसे होती है S

  1. केंद्रीय अंतर भागफल

    D(h)=f(x0+h)−f(x0−h)2h,D(0.1)=2.21933054438038D(h) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h},\qquad D(0.1) = 2.21933054438038

    इसकी त्रुटि में h की केवल सम घातें हैं, जिन्हें रिचर्डसन बहिर्वेशन एक-एक करके हटाता है।

  2. रिचर्डसन बहिर्वेशन

    Ti,j=4j Ti,j−1−Ti−1,j−14j−1,hi=h02i  ⇒  f′(1)≈2.223244275483932730705941T_{i,j} = \frac{4^{j}\,T_{i,j-1} - T_{i-1,j-1}}{4^{j} - 1},\quad h_i = \frac{h_0}{2^{i}} \;\Rightarrow\; f'(1) \approx 2.223244275483932730705941

    h₀ = 0.1 से h को 5 बार आधा किया; अनुमानित त्रुटि 9.6 × 10⁻²³ है।

  3. दोनों ओर के अनुमान मेल खाते हैं

    D−=2.22324427548393,D+=2.22324427548393D_{-} = 2.22324427548393,\quad D_{+} = 2.22324427548393

    D₋ और D₊ बाएँ और दाएँ के अनुमान हैं। उनका मेल संख्यात्मक अवकलज का समर्थन करता है, लेकिन सीमित नमूना जाँच अवकलनीयता का प्रमाण नहीं है।

  4. स्पर्श रेखा

    y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)=0.841470984807897+2.22324427548393 (x−1)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = 0.841470984807897 + 2.22324427548393\,(x - 1)

    y = 2.223244x − 1.381773

संख्यात्मक अवकलज कैलकुलेटर के बारे में

अवकलज f′(x₀), x₀ पर f की ढाल है। अवकलनीय फलन के लिए h के 0 की ओर जाने पर केंद्रीय अंतर भागफल [f(x₀ + h) − f(x₀ − h)]/2h इसी मान की ओर जाता है। कैलकुलेटर h = 0.1 × max(1, |x₀|) से शुरू करके h को बार-बार आधा करता है, फिर रिचर्डसन बहिर्वेशन (रिडर्स विधि, Numerical Recipes §5.7) से परिणामों को मिलाता है। यह h², h⁴, … वाले त्रुटि पद क्रमशः हटाकर उपयुक्त फलनों में लगभग 20 सार्थक अंकों तक पहुँचता है। द्वितीय अवकलज के लिए इसी तरह [f(x₀ + h) − 2f(x₀) + f(x₀ − h)]/h² का उपयोग होता है।

हाथ से निकाले अवकलज की जाँच, सुविधाजनक सूत्र के बिना परिवर्तन की दर निकालने या स्पर्श रेखा पाने के लिए इसका उपयोग करें। पहले से दिए x² sin x में x = 1 पर अवकलज 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2.2232443 और स्पर्श रेखा y = 2.223244x − 1.381773 है।

त्रिकोणमितीय फलन रेडियन का उपयोग करते हैं। बाएँ और दाएँ की ढाल अलग होने पर, जैसे कोने वाले बिंदु पर, कैलकुलेटर संख्या देने के बजाय समस्या बताता है।

किसी बिंदु पर ढाल निकालें

यह उपकरण f(x) का प्रथम या द्वितीय संख्यात्मक अवकलज किसी दिए x पर निकालता है। यह हर फ़ंक्शन का प्रतीकात्मक सूत्र हल करके नहीं देता। f(x)=x³ और x=2 में f(2)=8, f′(2)=12 है। स्पर्शरेखा y=8+12(x−2), अर्थात y=12x−16 है।

द्वितीय अवकलज ढाल के बदलने की दर बताता है। ln(x) के लिए f′=1/x, f″=−1/x², इसलिए x=2 पर द्वितीय अवकलज −0.25 है। क्रम चुनते समय प्रथम और द्वितीय परिणाम अलग रखें।

नियम और संख्यात्मक जाँच

फ़ंक्शन f(x)प्रथम अवकलजवास्तविक डोमेन की शर्त
x1सभी वास्तविक x
x^33x²सभी वास्तविक x
sqrt(x)1/(2√x)x > 0
sin(x)cos(x)सभी वास्तविक x; रेडियन
cos(x)−sin(x)सभी वास्तविक x; रेडियन
tan(x)sec²(x)cos(x) ≠ 0
sec(x)sec(x) tan(x)cos(x) ≠ 0
cot(x)−csc²(x)sin(x) ≠ 0
sin(2*x)2cos(2x)सभी वास्तविक x; रेडियन
cos(2*x)−2sin(2x)सभी वास्तविक x; रेडियन
exp(2*x)2e^(2x)सभी वास्तविक x
exp(-2*x)−2e^(−2x)सभी वास्तविक x
ln(sec(x))tan(x)sec(x) > 0
x^xx^x (ln(x)+1)x > 0
atan(x)1/(1+x²)सभी वास्तविक x
asin(x)1/√(1−x²)−1 < x < 1
acos(x)−1/√(1−x²)−1 < x < 1
atan(sqrt(x))1/[2√x(1+x)]x > 0
x*tan(x)tan(x)+x sec²(x)cos(x) ≠ 0
x*sin(x)sin(x)+x cos(x)सभी वास्तविक x; रेडियन
फ़ंक्शन f(x)बिंदु xक्रमअवकलज
cos(2*x)0.51-1.68294197
cos(x)11-0.841470985
cot(x)11-1.412282927
x^32112
atan(sqrt(x))410.05
acos(x)0.51-1.154700538
exp(2*x)1114.778112198
exp(-2*x)11-0.270670566
ln(sec(x))0.510.54630249
sqrt(x)410.25
sin(2*x)0.511.080604612
asin(x)0.511.154700538
x211
x*sin(x)111.381773291
x*tan(x)0.511.195525695
x^x216.772588722
sin(x)110.540302306
tan(x)0.511.29844641
sec(x)0.510.62250837
atan(x)110.5
x^32212
ln(x)22-0.25
5110
x^2 * sin(x)112.223244275

डोमेन, कोण और अनुमानित त्रुटि

ऊपर के नियमों में श्रृंखला नियम लगाना पड़ता है: exp(2x) का अवकलज 2exp(2x) है। त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियाँ रेडियन में हैं। sin(pi*x/180) का अवकलज केवल cos(x) नहीं, बल्कि (pi/180)cos(pi*x/180) है। √x का वास्तविक अवकलज x>0 पर 1/(2√x) है; x=0 पर कोई सीमित ढाल नहीं।

कैलकुलेटर पास-पास के फ़ंक्शन मानों से केंद्रीय अंतर और Richardson extrapolation लेता है। त्रुटि का अनुमान क्रमिक अनुमानों के अंतर से मिलता है; वह प्रमाणित ऊपरी सीमा नहीं है। चिकने फ़ंक्शन पर अच्छे अंक मिलने का अर्थ हर नुकीले बिंदु, ध्रुव या असांतत्य पर समान विश्वसनीयता नहीं है। |x| को 0 पर सममित अंतर से 0 मिल भी जाए तो वहाँ अवकलज मौजूद नहीं है।

OpenStax के अवकलन नियम से सूत्र जाँचें। पड़ोस का व्यवहार देखने के लिए ग्राफ और सीमित अंतराल का संचय देखने के लिए समाकलन खोलें।

हल किए गए उदाहरण

x = 2 पर d/dx x³

फलन f(x)
x^3
x = पर
2
अवकलज
प्रथम f′(x)
अवकलज
12
f(x₀)
8
स्पर्श रेखा
y = 12x − 16

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: x = 2 पर 3x² = 12; स्पर्श रेखा 8 + 12(x − 2)

0 पर d/dx sin x (रेडियन)

फलन f(x)
sin(x)
x = पर
0
अवकलज
प्रथम f′(x)
अवकलज
1

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: cos 0 = 1

1 पर d/dx x²·sin x

फलन f(x)
x^2 * sin(x)
x = पर
1
अवकलज
प्रथम f′(x)
अवकलज
2.223244275484

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

1 पर d/dx eˣ

फलन f(x)
exp(x)
x = पर
1
अवकलज
प्रथम f′(x)
अवकलज
2.718281828459

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: e

सवाल

अवकलज क्या है?

x₀ पर f का अवकलज वहाँ उसके ग्राफ़ की ढाल है: h के 0 की ओर जाने पर [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h की सीमा। f(x) = x³ में x = 2 पर ढाल 3 × 2² = 12 है, इसलिए x = 2 के पास x की हर इकाई बढ़ने पर फलन लगभग 12 इकाई बढ़ता है। वक्र को (2, 8) पर छूने वाली रेखा y = 12x − 16 वहाँ की स्पर्श रेखा है।

अवकलज संख्यात्मक रूप से कैसे निकालें?

छोटे चरण h के साथ अंतर भागफल निकालें। केंद्रीय भागफल [f(x + h) − f(x − h)]/2h की त्रुटि h² की तरह घटती है, जबकि एकतरफ़ा [f(x + h) − f(x)]/h की h की तरह, इसलिए केंद्रीय विधि बेहतर हो सकती है। sin x के लिए 0 पर h = 0.1 लेने से सटीक 1 के बजाय 0.998334 मिलता है। अत्यंत छोटा h पूर्णांकन त्रुटि बढ़ा सकता है, इसलिए यह कैलकुलेटर मध्यम चरणों से बहिर्वेशन करता है।

द्वितीय अवकलज क्या बताता है?

द्वितीय अवकलज f″(x), ढाल के परिवर्तन की दर है, इसलिए वह ग्राफ़ के मुड़ने की दिशा बताता है: ऊपर की ओर मुड़ने पर धनात्मक, नीचे की ओर मुड़ने पर ऋणात्मक। ln x के लिए f″(x) = −1/x², इसलिए f″(2) = −0.25। संख्यात्मक गणना [f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h² से होती है। उपयुक्त सतत वक्र पर f″ का चिह्न बदलने से नति परिवर्तन बिंदु मिलता है।

स्पर्श रेखा का समीकरण कैसे निकालें?

y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) का उपयोग करें। f(x) = x³ में x₀ = 2 पर f(2) = 8 और f′(2) = 12, इसलिए y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16। स्पर्श रेखा x₀ के पास f का सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन भी है: इससे 2.1³ का अनुमान 8 + 12 × 0.1 = 9.2 मिलता है, जबकि सटीक मान 9.261 है।

कुछ बिंदुओं पर फलन का अवकलज क्यों नहीं होता?

बाएँ और दाएँ की ढाल समान होनी चाहिए। |x| की 0 पर बाईं ढाल −1 और दाईं ढाल +1 है; यह कोना है, इसलिए वहाँ अवकलज नहीं है, भले केंद्रीय भागफल का औसत 0 हो। छलाँग या ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा, जैसे 0 पर x का घनमूल, भी सीमित अवकलज नहीं देती। कैलकुलेटर एकतरफ़ा भागफलों की तुलना करके ऐसे अंतर बताता है।

इस कैलकुलेटर के बारे में

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x−h)2hf′′(x)=lim⁡h→0δ2fh2δ2f=f(x+h)−2f(x)+f(x−h)\begin{gathered} f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \\[10pt] f''(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\delta^2 f}{h^2} \\[4pt] \delta^2 f = f(x+h) - 2f(x) + f(x-h) \end{gathered}

स्रोत

  1. Press et al., Numerical Recipes (3rd ed.) §5.7 — numerical derivatives (Ridders' method)
  2. Wolfram MathWorld — Richardson Extrapolation

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 6 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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