∫₀¹ e^(−x²) dx
- फलन f(x)
- exp(-x^2)
- निचली सीमा a
- 0
- ऊपरी सीमा b
- 1
- समाकल
- 0.746824132812
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
निश्चित समाकल कैलकुलेटर
अनुकूली गाउस–क्रोनरोड समाकलन से दो सीमाओं के बीच f(x) का निश्चित समाकल लगभग 20 सार्थक अंकों तक निकालें। क्षेत्रफल छायांकित रूप में देखें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7
समाकल
समाकल: 0.746824132812
- अनुमानित त्रुटि
- 1.1 × 10⁻²¹
- फलन के मूल्यांकन
- 45
- उपयोग किए उपांतराल
- 2
0 से 1 तक f(x) का चिह्न सहित समाकल 0.7468241328 है। x-अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक गिना जाता है। इसमें 2 उपांतरालों पर 45 मूल्यांकन हुए।
0 से 1 तक f(x) के नीचे का क्षेत्रफल
उपांतराल
| से | में | योगदान | त्रुटि अनुमान |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.5 | 0.4613 | 3.2 × 10⁻²² |
| 0.5 | 1 | 0.2855 | 8 × 10⁻²² |
गणना कैसे होती है S
हर खंड को [−1, 1] पर रूपांतरित करें
अंतर्निहित 7-बिंदु गाउस विधि के साथ 15-बिंदु क्रोनरोड विधि
15-बिंदु विधि 7 गाउस बिंदुओं का पुनः उपयोग करती है, इसलिए त्रुटि अनुमान के लिए अतिरिक्त मूल्यांकन नहीं चाहिए। ρ खंड पर ∫|f − औसत| है (QUADPACK का समायोजन)। बिंदुओं और भारों में 52 अंक रखे गए हैं।
अनुकूली द्विभाजन
सबसे अधिक अनुमानित त्रुटि वाले उपांतराल को बार-बार बाँटा: 2 उपांतराल, f के 45 मूल्यांकन। कुल अनुमानित त्रुटि सहनसीमा में आ गई।
परिणाम
निश्चित समाकल कैलकुलेटर के बारे में
निश्चित समाकल ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक f और x-अक्ष के बीच का चिह्न सहित क्षेत्रफल है; अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक गिना जाता है। कैलकुलेटर QUADPACK की 15-बिंदु गाउस–क्रोनरोड विधि (QK15) उपयोग करता है। यह हर खंड पर 15 बिंदुओं पर f निकालकर अंतर्निहित 7-बिंदु गाउस विधि से तुलना करता है और त्रुटि का अनुमान लगाता है। सबसे अधिक त्रुटि वाले खंड को आधा करते हुए कुल अनुमानित त्रुटि उत्तर के 10⁻²⁰ से नीचे लाने का लक्ष्य रखा जाता है; सीमा तक पहुँचने पर चेतावनी मिलती है।
यह e^(−x²) जैसे घंटी के आकार वाले वक्रों के लिए उपयोगी है, जिनका सुविधाजनक प्रतिअवकलज नहीं है, और हाथ से मिले उत्तर जाँचने के लिए भी। पहले से दिया ∫₀¹ e^(−x²) dx = (√π/2)·erf(1) ≈ 0.7468241328 है; इसमें 2 उपांतरालों पर f के 45 मूल्यांकन हुए।
त्रिकोणमितीय फलन रेडियन में हैं और सीमाओं में pi/2 जैसे व्यंजक मान्य हैं। गाउस–क्रोनरोड बिंदु सिरों को नहीं छूते, जिससे √x या 0 पर ln x जैसी समाकलनीय सिरों की कठिनाइयाँ सँभाली जा सकती हैं। सीमाएँ उलटने पर समाकल का चिह्न बदलता है।
निश्चित समाकलन से चिह्न सहित संचय निकालें
यदि f का प्रतिअवकलज F हो और उपयुक्त सततता की शर्तें पूरी हों, तो ∫ₐᵇf(x)dx = F(b)−F(a)। f(x)=2x के लिए F=x² है; 10 से 13 तक मान 169−100=69 है। अनिश्चित समाकलन F(x)+C एक फ़ंक्शन परिवार है; निश्चित समाकलन एक संख्या है।
यह उपकरण दिए हुए सीमित सिरों के बीच संख्यात्मक समाकलन करता है। x को −1 से 1 तक समाकलित करने पर 0 मिलता है क्योंकि दोनों तरफ के चिह्न कटते हैं। उसी अंतराल में |x| का समाकलन 1 है। ज्यामितीय कुल क्षेत्रफल चाहिए तो ऋणात्मक हिस्से के परिमाण को अलग जोड़ें।
प्रतिअवकलज और जाँचे हुए अंतराल
| फ़ंक्शन f(x) | प्रतिअवकलज F(x)+C | अंतराल की शर्त |
|---|---|---|
| 0 | C | सभी सीमित वास्तविक अंतराल |
| 1 | x+C | सभी सीमित वास्तविक अंतराल |
| x | x²/2+C | सभी सीमित वास्तविक अंतराल |
| 2*x | x²+C | सभी सीमित वास्तविक अंतराल |
| x^2 | x³/3+C | सभी सीमित वास्तविक अंतराल |
| x-2 | x²/2−2x+C | सभी सीमित वास्तविक अंतराल |
| sin(x) | −cos(x)+C | सभी वास्तविक x; रेडियन |
| cos(x) | sin(x)+C | सभी वास्तविक x; रेडियन |
| sin(2*x) | −cos(2x)/2+C | सभी वास्तविक x; रेडियन |
| cos(2*x) | sin(2x)/2+C | सभी वास्तविक x; रेडियन |
| tan(x) | −ln(abs(cos(x)))+C | cos(x)=0 को पार न करें |
| cot(x) | ln(abs(sin(x)))+C | sin(x)=0 को पार न करें |
| cot(3*x) | ln(abs(sin(3x)))/3+C | sin(3x)=0 को पार न करें |
| sec(x) | ln(abs(sec(x)+tan(x)))+C | cos(x)=0 को पार न करें |
| sin(x)*cos(x) | sin²(x)/2+C | सभी वास्तविक x; रेडियन |
| x*sin(x) | −x cos(x)+sin(x)+C | सभी वास्तविक x; रेडियन |
| x*cos(x) | x sin(x)+cos(x)+C | सभी वास्तविक x; रेडियन |
| x*ln(x) | (x²/2)ln(x)−x²/4+C | x > 0 |
| exp(2*x) | e^(2x)/2+C | सभी सीमित वास्तविक अंतराल |
| exp(-2*x) | −e^(−2x)/2+C | सभी सीमित वास्तविक अंतराल |
| 1/x | ln(abs(x))+C | शून्य को पार न करें |
| फ़ंक्शन f(x) | a | b | समाकलन |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| cos(x) | 0 | 1 | 0.841470985 |
| sin(x)*cos(x) | 0 | 1 | 0.354036709 |
| cot(3*x) | 0.2 | 0.4 | 0.16706067 |
| cot(x) | 0.5 | 1 | 0.56256294 |
| exp(2*x) | 0 | 1 | 3.194528049 |
| exp(-2*x) | 0 | 1 | 0.432332358 |
| 2*x | 10 | 13 | 69 |
| 2*x | 0 | 1 | 1 |
| cos(2*x) | 0 | 1 | 0.454648713 |
| sin(2*x) | 0 | 1 | 0.708073418 |
| x^2 | 0 | 1 | 0.333333333 |
| x-2 | 0 | 1 | -1.5 |
| x | 0 | 1 | 0.5 |
| sec(x) | 0 | 0.5 | 0.522238103 |
| tan(x) | 0 | 0.5 | 0.13058424 |
| x*ln(x) | 1 | 2 | 0.636294361 |
| x*sin(x) | 0 | 1 | 0.301168679 |
| sin(x) | 0 | 1 | 0.459697694 |
| x*cos(x) | 0 | 1 | 0.381773291 |
| sin(x) | 0 | pi | 2 |
| sin(x) | 0 | 2*pi | 0 |
| x^2 | 1 | 0 | -0.333333333 |
| x | -1 | 1 | 0 |
| abs(x) | -1 | 1 | 1 |
| 1/x | 1 | 2 | 0.693147181 |
| sqrt(x) | 0 | 1 | 0.666666667 |
| ln(x) | 0 | 1 | -1 |
| exp(-x^2) | 0 | 1 | 0.746824133 |
| x^2 | 2 | 2 | 0 |
त्रुटि, उलटी सीमा और अनुचित समाकलन
सीमाएँ उलटने से चिह्न बदलता है; बराबर सीमा पर मान 0 है। ऊपर प्रतिअवकलज की सारणी सीखने और जाँचने के लिए है; कैलकुलेटर सामान्य प्रतीकात्मक अनिश्चित समाकलन प्रणाली नहीं है। OpenStax का मूलभूत प्रमेय पाठ दोनों प्रकारों का संबंध समझाता है।
अनुकूली Gauss–Kronrod विधि ज़रूरत वाले उप-अंतरालों को छोटा करती है। प्रदर्शित त्रुटि अनुमान है, हर फ़ंक्शन पर प्रमाणित सीमा नहीं। बहुत संकरे उभार, तेज़ दोलन या बीच के ध्रुव सामान्य अनुमान को भ्रमित कर सकते हैं।
0 से 1 तक ln(x) का अभिसारी अनुचित समाकलन −1 है, लेकिन 1/x का उसी अंतराल में अपसरण होता है। −1 से 1 तक 1/x में दोनों पक्षों का कटना साधारण निश्चित समाकलन 0 साबित नहीं करता। चेतावनी या असफल अभिसरण को अनदेखा न करें। पहले ग्राफ कैलकुलेटर में डोमेन और अंतराल देखें।
हल किए गए उदाहरण
∫₀^π sin x dx
- फलन f(x)
- sin(x)
- निचली सीमा a
- 0
- ऊपरी सीमा b
- pi
- समाकल
- 2
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: −cos π + cos 0 = 2 (प्रतिअवकलज)
∫₁² 1/x dx
- फलन f(x)
- 1/x
- निचली सीमा a
- 1
- ऊपरी सीमा b
- 2
- समाकल
- 0.69314718056
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
∫₀³ x⁵eˣ dx
- फलन f(x)
- x^5 * exp(x)
- निचली सीमा a
- 0
- ऊपरी सीमा b
- 3
- समाकल
- 1,686.671880008638
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
सवाल
निश्चित समाकल क्या दर्शाता है?
किसी अंतराल पर वक्र और x-अक्ष के बीच का चिह्न सहित क्षेत्रफल: अक्ष के ऊपर का भाग धनात्मक और नीचे का भाग ऋणात्मक। ∫₀^π sin x dx = 2 क्योंकि ज्या वक्र का पहला चाप 2 क्षेत्रफल घेरता है, जबकि ∫₀^2π sin x dx = 0 क्योंकि दूसरा चाप अक्ष के नीचे पहले को निरस्त करता है। यह कुल परिवर्तन भी बताता है: समय के सापेक्ष चाल का समाकल चली गई दूरी देता है।
निश्चित समाकल हाथ से कैसे निकालें?
ऐसा प्रतिअवकलज F खोजें कि F′ = f, फिर घटाएँ: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)। यही कलन की मूल प्रमेय है। ∫₁² 1/x dx में F(x) = ln x, इसलिए उत्तर ln 2 − ln 1 ≈ 0.693147 है। e^(−x²) जैसे फलनों का प्रारंभिक फलनों में प्रतिअवकलज न होने पर ऐसी संख्यात्मक विधि उपयोगी है।
गाउस–क्रोनरोड समाकलन क्या है?
यह चुने हुए बिंदुओं पर f के भारित योग से समाकल का अनुमान लगाता है। 7-बिंदु गाउस विधि घात 13 तक के हर बहुपद का सटीक समाकल देती है। क्रोनरोड विस्तार 8 बिंदु जोड़कर पहले 7 का पुनः उपयोग करता है, जिससे बिना अतिरिक्त मूल्यांकन के त्रुटि का अनुमान मिलता है। यह हर फलन के लिए कठोर त्रुटि सीमा नहीं है। यहाँ QUADPACK की QK15 विधि के साथ सबसे अधिक त्रुटि वाले उपांतराल को बार-बार बाँटा जाता है।
e^(−x²) का समाकल क्या है?
प्रारंभिक फलनों में इसका प्रतिअवकलज नहीं है, इसलिए इसे त्रुटि फलन से लिखते हैं: ∫₀ˣ e^(−t²) dt = (√π/2) erf(x)। 0 से 1 तक मान लगभग 0.7468241328 है और पूरी वास्तविक रेखा पर √π ≈ 1.7724539। यही गाउसी समाकल सामान्य वितरण की कुल प्रायिकता को 1 बनाने में काम आता है।
क्या निश्चित समाकल ऋणात्मक हो सकता है?
हाँ, जब x-अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऊपर से अधिक हो, या सीमाओं की दिशा उलट दी जाए। ∫₁² (−x) dx = −1.5, और x² का 1 से 0 तक समाकल −1/3 है, जो ∫₀¹ x² dx = 1/3 का ऋणात्मक है। चिह्न से अलग कुल क्षेत्रफल के लिए निरपेक्ष मान का समाकल लें: ∫₀^2π |sin x| dx = 4, जिसे abs(sin(x)) लिखते हैं।
इस कैलकुलेटर के बारे में
स्रोत
संदर्भों से जाँच की गई
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।