पतले लेंस और दर्पण के सूत्र से प्रतिबिंब दूरी, बिंब दूरी या फोकस दूरी, साथ में आवर्धन; स्नेल के नियम से अपवर्तन कोण और क्रांतिक कोण।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 8
f = 10 cm और बिंब 30 cm दूर होने पर प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर 15 cm पर बनता है: वास्तविक, उलटा, छोटा (m = −0.5)।
वास्तविक धनात्मक: वास्तविक बिंबों और प्रतिबिंबों की दूरियाँ धनात्मक, आभासी की ऋणात्मक; अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0। लेंस में वास्तविक प्रतिबिंब दूसरी ओर बनता है।
पतले लेंस का सूत्र 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ फोकस दूरी f, बिंब दूरी dₒ और प्रतिबिंब दूरी dᵢ को जोड़ता है, और गोलीय दर्पणों पर भी यही सूत्र लागू होता है। कोई दो मान दें, कैलकुलेटर तीसरा निकालता है, फिर आवर्धन m = −dᵢ/dₒ, प्रतिबिंब की ऊँचाई, प्रतिबिंब वास्तविक है या आभासी, और डाइऑप्टर में क्षमता (1/f, f मीटर में) बताता है। स्नेल का नियम n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ सीमा पर अपवर्तित कोण और वह क्रांतिक कोण देता है जिसके आगे प्रकाश पूरी तरह परावर्तित हो जाता है।
डिफ़ॉल्ट मानों में f = 10 cm का अभिसारी लेंस है और बिंब 30 cm दूर है; प्रतिबिंब लेंस के पीछे 15 cm पर बनता है, उलटा और आधे आकार का (m = −0.5), जैसा कैमरे में होता है। हवा से पानी में 45° पर जाता प्रकाश मुड़कर 32.05° पर चलता है।
चिह्न “वास्तविक धनात्मक” परिपाटी पर चलते हैं: आभासी प्रतिबिंब की dᵢ ऋणात्मक होती है, और अपसारी लेंस तथा उत्तल दर्पण की f ऋणात्मक होती है। लेंस पतले माने गए हैं, इसलिए मोटाई और विपथन (aberration) छोड़ दिए गए हैं।
यह कैलकुलेटर दो काम करता है: पतले लेंस या गोलीय दर्पण के सूत्र से प्रतिबिंब दूरी, बिंब दूरी या फोकस दूरी निकालता है, और स्नेल के नियम से अपवर्तन कोण और क्रांतिक कोण। डिफ़ॉल्ट में f = 10 cm का अभिसारी (उत्तल) लेंस है और बिंब 30 cm दूर है; प्रतिबिंब लेंस के पीछे 15 cm पर बनता है, वास्तविक, उलटा और आधे आकार का (m = −0.5), और लेंस की क्षमता +10 डाइऑप्टर है। स्नेल वाले भाग में डिफ़ॉल्ट किरण हवा से पानी में 45° पर जाती है और 32.047° पर मुड़ती है।
स्नेल का नियम, n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂, बताता है कि नए माध्यम में जाने के बाद किरण किस कोण पर चलेगी; दोनों कोण अभिलंब से नापे जाते हैं। हवा (n ≈ 1) से काँच (n = 1.5) में 30° पर, sin θ₂ = 0.5 ÷ 1.5 = 0.333, इसलिए किरण 19.47° पर आगे बढ़ती है।
पतले लेंस का सूत्र, 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, लेंस या वक्र दर्पण से बने प्रतिबिंब की जगह बताता है। अभिलंब सतह के लंबवत रेखा है। लेंस का सूत्र मानता है कि लेंस पतला है और किरणें उसके मुख्य अक्ष के पास हैं।
अपवर्तनांक n = c/v निर्वात में प्रकाश की चाल c की तुलना पदार्थ में उसकी चाल v से करता है। n = 1.5 वाला काँच प्रकाश को लगभग 2.0 × 10⁸ m/s तक धीमा कर देता है, यानी निर्वात की चाल का दो-तिहाई।
“अपवर्तन सूचकांक” और “अपवर्तन गुणांक” आम तौर पर इसी n के नाम हैं। फ़्रेनेल के परावर्तन और पारगमन गुणांक अलग राशियाँ हैं: वे बताते हैं कि कितना प्रकाश लौटता है या पार जाता है, यह नहीं कि किरण किस ओर मुड़ती है।
589 nm के पीले प्रकाश के लिए सामान्य अपवर्तनांक:
अपवर्तनांक तरंगदैर्ध्य के साथ बदलता है, इसीलिए प्रिज़्म सफ़ेद प्रकाश को रंगों में फैला देता है। जिस तरंगदैर्ध्य से आपको मतलब है, उसी का मान लें।
अधिक अपवर्तनांक वाले माध्यम में जाता प्रकाश अभिलंब की ओर मुड़ता है, और कम अपवर्तनांक वाले में अभिलंब से दूर। 0° पर आती किरण सीधी निकल जाती है, और बराबर अपवर्तनांकों पर किसी भी कोण पर किरण नहीं मुड़ती (OpenStax, अपवर्तन)।
कोण छह दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित हैं, और π/6 rad वाली पंक्ति रेडियन में लिखा 30° है। “कोई नहीं” का अर्थ है कि क्रांतिक कोण नहीं है, क्योंकि प्रकाश बराबर या अधिक अपवर्तनांक में जा रहा है।
| उदाहरण | n₁ | n₂ | आपतन | अपवर्तन | क्रांतिक कोण |
|---|---|---|---|---|---|
| अपवर्तनांक की अवधारणा | 1 | 1.5 | 30° | 19.471221° | कोई नहीं |
| पूर्ण परावर्तन | 1.5 | 1 | 45° | पूर्ण आंतरिक परावर्तन | 41.810315° |
| डिफ़ॉल्ट पानी | 1.000293 | 1.333 | 45° | 32.047229° | कोई नहीं |
| अभिलंब आपतन | 1 | 1.5 | 0° | 0° | कोई नहीं |
| बराबर अपवर्तनांक | 1.5 | 1.5 | 45° | 45° | कोई नहीं |
| बराबर अपवर्तनांक, सतह को छूती किरण | 1.5 | 1.5 | 90° | 90° | कोई नहीं |
| रेडियन में आपतन | 1 | 1.5 | π/6 rad | 19.471221° | कोई नहीं |
| क्रांतिक से कम | 1.5 | 1 | 30° | 48.590378° | 41.810315° |
| ठीक क्रांतिक | 2 | 1 | 30° | 90° | 30° |
| क्रांतिक से ज़रा अधिक | 2 | 1 | 30.0001° | पूर्ण आंतरिक परावर्तन | 30° |
अधिक अपवर्तनांक से कम अपवर्तनांक में जाते समय क्रांतिक कोण θc = asin(n₂/n₁) है। काँच (1.5) से हवा (≈ 1) में θc = asin(0.6667) = 41.81°। इस कोण के आगे स्नेल के नियम को sin θ₂ > 1 चाहिए होगा, इसलिए कोई प्रकाश पार नहीं जाता और सारा वापस परावर्तित हो जाता है।
ठीक क्रांतिक कोण पर अपवर्तित किरण सतह के साथ-साथ, 90° पर, चलती है। सारणी की अंतिम दो पंक्तियों में अपवर्तनांक 2 वाले माध्यम से 30° की किरण सतह को छूती हुई निकलती है, और 30.0001° की किरण परावर्तित हो जाती है।
हवा में निकलते समय पानी का क्रांतिक कोण लगभग 48.6° और हीरे का 24.4° है। हीरे का छोटा क्रांतिक कोण तराशे हुए पत्थर के भीतर प्रकाश को फँसा लेता है, और यही प्रभाव ऑप्टिकल फ़ाइबर में प्रकाश को भीतर रखता है (OpenStax, पूर्ण आंतरिक परावर्तन)।
f = 10 cm और dₒ = 30 cm के लिए 1/dᵢ = 1/10 − 1/30 = 2/30, इसलिए dᵢ = 15 cm। आवर्धन m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0.5 है: 2 cm का बिंब 1 cm का उलटा प्रतिबिंब देता है।
लेंस की क्षमता P = 1/f है, f मीटर में। 10 cm के लेंस की P = 1/0.1 m = +10 डाइऑप्टर है; चश्मे के नुस्खों में यही इकाई लिखी जाती है।
बिंब को फोकस दूरी के भीतर, 5 cm पर, ले आएँ तो 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10। प्रतिबिंब दूरी −10 cm है: दोगुने आकार का सीधा आभासी प्रतिबिंब (m = +2)। आवर्धक लेंस इसी तरह काम करता है।
dₒ = 2f (20 cm) पर प्रतिबिंब भी 20 cm पर बनता है, उलटा और बराबर आकार का (m = −1)। बिंब ठीक फोकस बिंदु पर हो तो किरणें समानांतर निकलती हैं और कोई सीमित दूरी पर प्रतिबिंब नहीं बनता; कैलकुलेटर तब बिंब खिसकाने को कहता है।
ये नियम “वास्तविक धनात्मक” परिपाटी पर चलते हैं:
NCERT की कक्षा 10 की विज्ञान पुस्तक (अध्याय 9, प्रकाश – परावर्तन तथा अपवर्तन) नई कार्तीय चिह्न परिपाटी अपनाती है, जिसमें दूरियाँ प्रकाश की दिशा के अनुसार धनात्मक या ऋणात्मक होती हैं, लेंस का सूत्र 1/v − 1/u = 1/f लिखा जाता है और आवर्धन m = v/u। वहाँ वास्तविक बिंब की दूरी u ऋणात्मक आती है। यह कैलकुलेटर “वास्तविक धनात्मक” परिपाटी लेता है, इसलिए वास्तविक बिंब की दूरी धनात्मक भरें; परिणाम का आकार और प्रकृति दोनों परिपाटियों में एक ही आती है।
फोकस दूरी बिना चिह्न के, केवल परिमाण के रूप में भरें; चुना गया लेंस या दर्पण उसका चिह्न तय करता है। आभासी प्रतिबिंब की दूरी ऋणात्मक संख्या के रूप में भरी जाती है।
जब दोनों दूरियाँ ज्ञात हों और f निकालना हो, तो चिह्न से अवयव पहचाना जाता है। 30 cm पर बिंब और −5 cm पर आभासी प्रतिबिंब से 1/f = 1/30 − 1/5, यानी f = −6 cm आता है, जो केवल अपसारी लेंस या उत्तल दर्पण दे सकता है। चुना गया प्रकार इससे मेल न खाए तो कैलकुलेटर चेतावनी देता है।
“मीटर में परिणाम” वाली पंक्ति को छोड़कर दूरियाँ सेंटीमीटर में हैं; उस पंक्ति में मीटर हैं। आवर्धन की कोई इकाई नहीं है, क्षमता डाइऑप्टर में है, और मान छह दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित हैं।
| उदाहरण | f | dₒ | dᵢ | m | क्षमता D |
|---|---|---|---|---|---|
| डिफ़ॉल्ट लेंस | 10 | 30 | 15 | -0.5 | 10 |
| फोकस दूरी के भीतर | 10 | 5 | -10 | 2 | 10 |
| अपसारी लेंस | -10 | 30 | -7.5 | 0.25 | -10 |
| अवतल दर्पण | 10 | 30 | 15 | -0.5 | 10 |
| उत्तल दर्पण | -10 | 30 | -7.5 | 0.25 | -10 |
| बिंब दूरी निकालना | 10 | 30 | 15 | -0.5 | 10 |
| फोकस दूरी निकालना | 10 | 30 | 15 | -0.5 | 10 |
| उलटे चिह्न वाली फोकस दूरी की चेतावनी | -6 | 30 | -5 | 0.166667 | -16.666667 |
| मीटर में परिणाम | 0.1 | 0.3 | 0.15 | -0.5 | 10 |
एक ही f वाले अवतल दर्पण और अभिसारी लेंस प्रतिबिंब को एक ही दूरी पर बनाते हैं। अपसारी लेंस या उत्तल दर्पण किसी वास्तविक बिंब का हमेशा आभासी, सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाते हैं, जैसा −7.5 cm वाली पंक्तियाँ दिखाती हैं (OpenStax, पतले लेंस)। वाहनों के पीछे देखने वाले उत्तल दर्पण इसी कारण छोटा पर चौड़ा दृश्य दिखाते हैं।
अपवर्तन में आवृत्ति वही रहती है और तरंगदैर्ध्य घटकर λ/n हो जाता है: 589 nm का प्रकाश पानी के भीतर लगभग 442 nm का होता है। तरंगदैर्ध्य, आवृत्ति और फ़ोटॉन ऊर्जा के बीच बदलने के लिए तरंगदैर्ध्य कैलकुलेटर देखें।
जाँच का स्रोत: P = 1/0.1 m
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, जहाँ f फोकस दूरी, dₒ बिंब दूरी और dᵢ प्रतिबिंब दूरी है, सभी लेंस से नापी जाती हैं। f = 10 cm और 30 cm पर रखे बिंब के लिए 1/dᵢ = 1/10 − 1/30, इसलिए dᵢ = 15 cm। ऋणात्मक dᵢ का अर्थ है बिंब की ही ओर बना आभासी प्रतिबिंब, जैसा आवर्धक लेंस (मैग्निफ़ाइंग ग्लास) में दिखता है।
m = −dᵢ/dₒ, और प्रतिबिंब की ऊँचाई बिंब की ऊँचाई की m गुना होती है। ऋणात्मक m का अर्थ है उलटा प्रतिबिंब; |m| 1 से अधिक हो तो प्रतिबिंब बड़ा है। 10 cm के आवर्धक लेंस से 5 cm दूर रखे बिंब पर dᵢ = −10 cm और m = +2 आता है, यानी दोगुने आकार का सीधा आभासी प्रतिबिंब। dₒ = 2f पर प्रतिबिंब वास्तविक, उलटा और बराबर आकार का होता है (m = −1)।
θc = arcsin(n₂/n₁), जो तभी होता है जब प्रकाश कम अपवर्तनांक वाले माध्यम की ओर जा रहा हो (n₁ > n₂)। हवा में निकलते समय यह काँच (n = 1.5) से 41.8°, पानी (1.333) से 48.6° और हीरे (2.417) से 24.4° है, इसीलिए तराशा हुआ हीरा चमकता है। जो किरण अभिलंब से θc से अधिक कोण पर सतह से मिलती है, वह पूरी परावर्तित हो जाती है; ऑप्टिकल फ़ाइबर इसी सिद्धांत पर चलता है।
n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂: अपवर्तनांक और अभिलंब से कोण के sine का गुणनफल सीमा के दोनों ओर बराबर रहता है। हवा से 45° पर पानी (n = 1.333) में जाता प्रकाश 32.0° पर आगे बढ़ता है, अभिलंब की ओर मुड़कर, क्योंकि पानी का अपवर्तनांक अधिक है। उलटी दिशा में किरण अभिलंब से दूर मुड़ती है, और क्रांतिक कोण के आगे वह बाहर निकल ही नहीं पाती।
क्षमता P = 1/f, f मीटर में, इकाई डाइऑप्टर (D)। f = 10 cm वाले अभिसारी लेंस की P = +10 D है, और f = −50 cm वाले अपसारी लेंस की −2 D। चश्मे के नुस्खे इसी इकाई में लिखे जाते हैं: निकट-दृष्टि दोष ऋणात्मक (अपसारी) लेंस से और दूर-दृष्टि दोष धनात्मक लेंस से ठीक होता है, और सटाकर रखे पतले लेंसों की क्षमताएँ जुड़ जाती हैं।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 8 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।