दो या अधिक समूहों के लिए एक-मार्गी ANOVA: F-सांख्यक, p-मान, वर्गों के योग, माध्य वर्ग और η², पूरी ANOVA तालिका सहित।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 4
α = 0.05 पर H₀ को अस्वीकार करें। यदि सभी समष्टि समूहों के औसत समान हों, तो कम-से-कम इतना चरम परिणाम मिलने की प्रायिकता 0.0032 होगी। p-मान H₀ के सही होने की संभावना नहीं है, और सांख्यिकीय रूप से सार्थक परिणाम प्रभाव के आकार या व्यावहारिक महत्व को नहीं बताता। कुल बदलाव का 61.5% समूह सदस्यता से संबद्ध है (η²)। ANOVA यह नहीं बताता कि कौन-से समूह अलग हैं; इसके बाद Tukey HSD जैसी उपयुक्त बहु-तुलना विधि लें।
| बदलाव का स्रोत | वर्गों का योग (SS) | स्वतंत्रता अंश | माध्य वर्ग (MS) | F | p-मान |
|---|---|---|---|---|---|
| समूहों के बीच | 27.8973 | 2 | 13.9487 | 9.5911 | 0.0032 |
| समूहों के भीतर | 17.452 | 12 | 1.4543 | — | — |
| कुल | 45.3493 | 14 | — | — | — |
H₁: कम-से-कम एक समष्टि समूह का औसत अलग है।
α = 0.05 पर क्रांतिक F, 3.8853 है।
एक-मार्गी प्रसरण विश्लेषण (ANOVA) जाँचता है कि दो या अधिक स्वतंत्र समूहों के समष्टि औसत समान हैं या नहीं। कुल बदलाव को समूहों के बीच और समूहों के भीतर वर्गों के योग में बाँटते हैं। इन्हें क्रमशः k − 1 और N − k स्वतंत्रता अंशों से भाग देने पर माध्य वर्ग मिलते हैं; उनका अनुपात F-सांख्यक है। इस F से आगे F-वितरण का क्षेत्रफल p-मान है।
तीन उर्वरकों पर फसल उपज, शिक्षण विधियों पर परीक्षा अंक या उत्पाद संस्करणों पर प्रतिक्रिया समय की तुलना सामान्य उपयोग हैं। डिफ़ॉल्ट डेटा NIST e-Handbook का पाँच-पाँच प्रेक्षणों वाले तीन समूहों का उदाहरण है। F = 9.59, स्वतंत्रता अंश 2 और 12 तथा p = 0.0032 मिलता है; α = 0.05 पर तीनों समष्टि औसत समान होने की परिकल्पना अस्वीकार होती है।
परीक्षण स्वतंत्र प्रेक्षण, हर समूह में लगभग सामान्य डेटा और समान समष्टि प्रसरण मानता है। सार्थक F बताता है कि कम-से-कम एक औसत अलग है; कौन-सा, यह नहीं बताता।
हर समूह के मूल माप एक लाइन में भरें। एक-कारक ANOVA की H₀ है कि सभी समष्टि माध्य बराबर हैं। F = MSB/MSW समूहों के बीच और समूहों के भीतर के माध्य वर्गों का अनुपात है। छोटे p पर निष्कर्ष है कि सभी माध्य बराबर नहीं हैं; इससे यह तय नहीं होता कि कौन-से जोड़े अलग हैं।
प्रारंभिक तीन समूह NIST के उदाहरण से हैं: 6.9, 5.4, 5.8, 4.6, 4.0; 8.3, 6.8, 7.8, 9.2, 6.5; और 8.0, 10.5, 8.1, 6.9, 9.3। उनके माध्य 5.34, 7.72, 8.56, कुल N = 15 और समग्र माध्य 7.206667 है।
बीच का वर्ग-योग SSB = Σnᵢ(x̄ᵢ−x̄)² = 27.897333 है। भीतर का SSW = Σ(x−समूह माध्य)² = 17.452 है। कुल वर्ग-योग 45.349333 दोनों का योग है। तीन समूहों में बीच का df = k−1 = 2 और भीतर का df = N−k = 12 है।
इसलिए MSB = 13.948667 और MSW = 1.454333 है। बिना बीच में गोल किए भाग देने पर F = 9.591107, ऊपर के F पुच्छ से p = 0.003248 मिलता है। α = 0.05 पर H₀ अस्वीकार है। कुल पंक्ति में अपना F नहीं होता।
| उदाहरण | F सांख्यिकी | p-मूल्य |
|---|---|---|
| प्रारंभिक मान | 9.591107 | 0.003248 |
| असमान आकार के समूह | 13.500000 | 0.001953 |
| बराबर माध्य | 0.000000 | 1.000000 |
| दो समूह | 13.500000 | 0.021312 |
समूह आकार अलग हो सकते हैं। समग्र माध्य सभी मापों का संयुक्त माध्य है, अलग-अलग समूह माध्यों का साधारण औसत नहीं। उसे आकार nᵢ से भार दें। अन्यथा SSB और F दोनों गलत हो सकते हैं। कम-से-कम दो समूह और एक भीतर की स्वतंत्रता डिग्री चाहिए। लेबल, समूह माध्य, SD या कुल को नई डेटा-पंक्ति न बनाएँ।
बराबर समूह माध्यों पर बीच का वर्ग-योग शून्य हो सकता है, भले समूहों के फैलाव अलग हों। तालिका के बराबर-माध्य उदाहरण 1,2,3; 0,2,4; −1,2,5 में हर माध्य 2 है। इसलिए F = 0 और p = 1 है; इसका अर्थ हर माप बराबर होना नहीं है।
η² = SSB/SST कुल विचरण में समूह-भेद से जुड़े हिस्से का माप है। प्रारंभिक उदाहरण में यह लगभग 0.615 है। यह कारण-प्रभाव का प्रमाण नहीं और छोटे नमूने में समष्टि के प्रभाव को अधिक आँक सकता है। p-मूल्य प्रभाव की मात्रा नहीं बताता।
यह स्वतंत्र मापों, समूहों के भीतर लगभग सामान्य वितरण और समान समष्टि प्रसरण का मॉडल है। एक ही लोगों के बार-बार माप स्वतंत्र समूह नहीं हैं। बहुत अलग प्रसरण के लिए वेल्च ANOVA जैसे दूसरे मॉडल की जरूरत हो सकती है; यहाँ का F उसी परीक्षण का परिणाम नहीं है।
अर्थपूर्ण समग्र F के बाद हर जोड़े पर असंशोधित 5% t परीक्षण करने से कुल झूठे सकारात्मक परिणाम बढ़ते हैं। नियोजित तुलना या उचित अनेक-तुलना सुधार अलग चरण है; इस कैलकुलेटर का p किसी खास जोड़े का p नहीं है।
दो समूह होने पर यही समान-प्रसरण ANOVA, संयुक्त दो-नमूना t परीक्षण से F = t² का संबंध रखता है। 1,2,3 और 4,5,6 पर F = 13.5 तथा p ≈ 0.021312 है। वेल्च t का मॉडल अलग है। दो समूहों के लिए t परीक्षण, F क्षेत्र के लिए सतत वितरण देखें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: NIST/SEMATECH e-Handbook §7.4.3.3 ANOVA तालिका (SS 27.897 / 17.452, F = 9.59)
जाँच का स्रोत: d₁ = 2 पर A&S 26.6.4 देता है p = (9/(9 + 2F))^4.5 = 4^−4.5 = 1/512
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: दो समूहों के लिए F = t²
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: हर समूह का औसत 2 है, इसलिए बीच का SS = 0 और F = 0
सभी समष्टि समूह औसत समान हों तो देखे गए F जितना या उससे बड़ा सांख्यक मिलने की प्रायिकता। डिफ़ॉल्ट में p = 0.0032 है: समान औसतों पर लगभग 1,000 में तीन नमूनों में F ≥ 9.59 मिलेगा। यह शून्य परिकल्पना के सही होने की संभावना नहीं है। छोटा p-मान अंतर का आकार नहीं बताता; η² उसका एक माप है।
F, समूहों के बीच के माध्य वर्ग को समूहों के भीतर के माध्य वर्ग से भाग देने पर मिलता है। समान समष्टि औसतों पर दोनों एक ही त्रुटि प्रसरण का अनुमान लगाते हैं; बड़ा अनुपात औसतों के अंतर का संकेत हो सकता है। कितना बड़ा मान सार्थक है, यह स्वतंत्रता अंशों पर निर्भर है। 2 और 12 पर 5% क्रांतिक मान 3.885 है, इसलिए F = 9.59, α = 0.05 पर सार्थक है; F = 3 नहीं।
स्वतंत्र प्रेक्षण, हर समूह में लगभग सामान्य वितरण और समान समष्टि प्रसरण। समूह आकार करीब हों तो F-परीक्षण मध्यम असामान्यता सह सकता है। सबसे बड़ा नमूना मानक विचलन सबसे छोटे के दोगुने से कम होना समान प्रसरण का एक मोटा व्यावहारिक संकेत है, प्रमाण नहीं। असमान प्रसरण में Welch ANOVA पर विचार करें। बहुत असामान्य डेटा में Kruskal–Wallis उपयोगी हो सकता है, पर वह सामान्य रूप से केवल औसतों की समानता का परीक्षण नहीं है।
परीक्षण के बाद उचित बहु-तुलना विधि लें। Tukey HSD सभी जोड़ियों की तुलना करते हुए अपनी मान्यताओं के अंतर्गत समग्र त्रुटि दर α नियंत्रित करता है। Bonferroni में m तुलनाओं में हर एक का स्तर α/m होता है; तीन समूहों की तीन जोड़ियों के लिए 0.05/3 ≈ 0.0167। हर जोड़ी पर अलग 0.05 परीक्षण से कम-से-कम एक गलत सकारात्मक परिणाम का जोखिम बढ़ता है। तीन स्वतंत्र परीक्षणों में यह 1 − 0.95³ ≈ 14% होगा; साझा समूहों वाली जोड़ी तुलनाएँ स्वतंत्र नहीं होतीं।
η², समूहों के बीच वर्गों के योग को कुल वर्गों के योग से भाग देता है: समूह सदस्यता से संबद्ध बदलाव का हिस्सा। Cohen (1988) के प्रचलित संकेत 0.01, 0.06 और 0.14 क्रमशः छोटे, मध्यम और बड़े प्रभाव हैं; व्यावहारिक महत्व विषय पर निर्भर है। डिफ़ॉल्ट में 27.897/45.349 = 0.615 है, जो इन संकेतों पर बड़ा प्रभाव है। छोटे नमूनों में η² समष्टि प्रभाव को अधिक आँक सकता है; ω² इस पक्षपात को कम करने वाला अनुमान है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 4 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।