तीन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र, त्रिज्या, क्षेत्रफल और समीकरण निकालें। मानक रूप (x − h)² + (y − k)² = r² और सामान्य रूप देखें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 4
(−3, 4), (4, 5) और (1, −4) से गुजरने वाले एकमात्र वृत्त का केंद्र (1, 1) और त्रिज्या 5 है: (x − 1)² + (y − 1)² = 25।
केंद्र P₁P₂ और P₂P₃ के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद है, इसलिए वह तीनों बिंदुओं से समान दूरी पर है।
मानक: (x − 1)² + (y − 1)² = 25 · सामान्य: x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0
एक सीधी रेखा पर न होने वाले तीन बिंदु ठीक एक वृत्त तय करते हैं: उनके बने त्रिभुज का परिवृत्त। उसका केंद्र (h, k) दो जीवाओं के लंब समद्विभाजकों के प्रतिच्छेद पर होता है; सारणिक सूत्र इसे सीधे देता है। केंद्र से किसी भी बिंदु की दूरी त्रिज्या है। निर्देशांक सटीक भिन्न रहते हैं, इसलिए (1, 4/3) के केंद्र में 4/3 ही दिखता है, 1.3333 नहीं।
पहले से दिए बिंदु (−3, 4), (4, 5) और (1, −4) केंद्र (1, 1) और त्रिज्या 5 देते हैं: (x − 1)² + (y − 1)² = 25, या x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0। यही विधि गोल मेज़, पाइप या मेहराब के किनारे के तीन निशानों से केंद्र और सड़क के तीन सर्वेक्षण बिंदुओं से मोड़ की त्रिज्या निकालती है।
सारणिक शून्य हो तो बिंदु समरेख हैं और उनसे गुजरने वाला वृत्त नहीं बनता। निर्देशांकों की इकाई यहाँ निर्धारित नहीं है; त्रिज्या उसी इकाई में और क्षेत्रफल उसके वर्ग में है।
तीनों बिंदुओं के x तथा y निर्देशांक अलग खानों में दें। बिंदु अलग और एक सीधी रेखा पर नहीं होने चाहिए। तब उनसे एक ही वृत्त गुजरता है। यही उन बिंदुओं से बने त्रिभुज का परिवृत्त है। मुख्य परिणाम त्रिज्या है; केंद्र, व्यास, परिधि, क्षेत्रफल तथा दोनों समीकरण अलग मिलते हैं।
प्रारंभिक बिंदु (−3, 4), (4, 5), (1, −4) हैं। केंद्र (1, 1) और त्रिज्या 5 है। केंद्र से तीनों की दूरी का वर्ग क्रमशः 16+9, 9+16 और 0+25 है। सभी 25 होने से वृत्त की स्वतंत्र जाँच हो जाती है। केंद्र तीन निर्देशांकों का सामान्य औसत नहीं है।
सभी निर्देशांक एक समतल तंत्र और समान लंबाई इकाई में हैं। समीकरण में दाईं ओर त्रिज्या का वर्ग है।
| तीन बिंदु | केंद्र | त्रिज्या | मानक समीकरण |
|---|---|---|---|
| (−3, 4), (4, 5), (1, −4) | (1, 1) | 5 | (x − 1)² + (y − 1)² = 25 |
| (0, 0), (4, 0), (0, 3) | (2, 1.5) | 2.5 | (x − 2)² + (y − 1.5)² = 6.25 |
| (1, 0), (0, 1), (−1, 0) | (0, 0) | 1 | x² + y² = 1 |
| (0, 0), (2, 0), (1, 3) | (1, 4/3) | 5/3 | (x − 1)² + (y − 4/3)² = 25/9 |
मानक रूप (x−h)²+(y−k)² = r² में केंद्र (h, k) है। दाईं तरफ 25 होने पर त्रिज्या 5 है, 25 नहीं। प्रारंभिक वृत्त का सामान्य रूप x²+y²−2x−2y−23 = 0 है।
सामान्य रूप x²+y²+Dx+Ey+F = 0 से h = −D/2, k = −E/2 और r² = h²+k²−F मिलता है। दोनों रूप में मूल तीन बिंदु रखने पर वही बराबरी आनी चाहिए। अंतिम तालिका का केंद्र (1, 4/3), r = 5/3 और r² = 25/9 है। समीकरण में भिन्न रखना छोटे गोल दशमलव से अधिक जानकारी बचाता है।
वृत्त का केंद्र किसी जीवा के दोनों सिरों से बराबर दूर होता है, इसलिए उस जीवा के लंब समद्विभाजक पर है। दो जीवाओं के समद्विभाजक जहाँ मिलते हैं, वही केंद्र है। समकोण त्रिभुज में यह कर्ण का मध्यबिंदु होता है। (0, 0), (4, 0), (0, 3) में केंद्र (2, 1.5) और त्रिज्या 2.5 है।
भुजाओं a, b, c और त्रिभुज के क्षेत्रफल Δ से R = abc/(4Δ) भी जाँच दे सकता है। प्रारंभिक उदाहरण में abc = 600 और Δ = 30 से R = 5 है। इस पृष्ठ का क्षेत्रफल वृत्त का πR² है; उसे इस सूत्र के त्रिभुज क्षेत्रफल की जगह न रखें।
दो एक जैसे बिंदु या तीन संरेखीय बिंदु एक वृत्त तय नहीं करते, इसलिए त्रुटि देते हैं। उन्हीं तीन बिंदुओं का क्रम बदलने से स्थिति नहीं सुधरेगी। मान्य बिंदुओं का क्रम बदलने पर उनका वृत्त समान रहना चाहिए। लगभग संरेखीय बिंदुओं में केंद्र बहुत दूर और त्रिज्या बहुत बड़ी हो सकती है। छोटे माप परिवर्तन भी बड़ा फर्क पैदा कर सकते हैं।
केंद्र त्रिभुज के अंदर होना जरूरी नहीं। न्यूनकोण, समकोण और अधिककोण त्रिभुजों में उसकी स्थिति बदल सकती है। चित्र देखकर वृत्त को गलत कहने के बजाय तीनों दूरियाँ और समीकरण जाँचें।
यह निर्देशांकों की इकाई अपने आप नहीं बदलता। सभी बिंदु मीटर में हों तो त्रिज्या मीटर और क्षेत्रफल m² में समझें। अक्षांश और देशांतर को सपाट x, y दूरी न मानें। यह ठीक तीन बिंदुओं का वृत्त है, कई शोरयुक्त मापों पर सबसे उपयुक्त वृत्त फिट करने का साधन नहीं। ज्ञात त्रिज्या के लिए वृत्त कैलकुलेटर, भुजाओं के लिए त्रिभुज हलकर्ता और पूरी सीमा के लिए निर्देशांकों से बहुभुज क्षेत्रफल देखें।
जाँच का स्रोत: हर बिंदु (1, 1) से 5 दूर है: 4² + 3², 3² + 4², 0² + 5²
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: थेल्स प्रमेय से कर्ण (लंबाई 5) व्यास है और केंद्र उसका मध्यबिंदु
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: तीनों बिंदु मूलबिंदु से 1 दूरी पर हैं
जाँच का स्रोत: 9 − 6k = 1 से k = 4/3, r² = 1 + 16/9 = 25/9
हर बिंदु सामान्य रूप x² + y² + Dx + Ey + F = 0 में रखें और D, E, F के तीन रैखिक समीकरण हल करें। (−3, 4), (4, 5) और (1, −4) से D = −2, E = −2 और F = −23 मिलता है। पूर्ण वर्ग बनाने पर (x − 1)² + (y − 1)² = 25 मिलता है: केंद्र (1, 1), त्रिज्या 5।
P₁P₂ और P₂P₃ जैसी दो जीवाओं के लंब समद्विभाजक बनाएँ। वे केंद्र पर मिलते हैं, क्योंकि लंब समद्विभाजक का हर बिंदु जीवा के दोनों सिरों से समान दूरी पर होता है। समकोण त्रिभुज का परिवृत्त केंद्र कर्ण का मध्यबिंदु है: (0, 0), (4, 0), (0, 3) से केंद्र (2, 1.5) और त्रिज्या 2.5 मिलती है।
x² + y² + Dx + Ey + F = 0। केंद्र (−D/2, −E/2) और त्रिज्या √(D²/4 + E²/4 − F) है। x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0 का केंद्र (1, 1) और त्रिज्या √(1 + 1 + 23) = 5 है। D²/4 + E²/4 − F शून्य हो तो समीकरण एक बिंदु दर्शाता है; ऋणात्मक हो तो वास्तविक वृत्त नहीं बनता।
वृत्त किसी सीधी रेखा को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटता है, इसलिए तीन अलग समरेख बिंदुओं से नहीं गुजर सकता। सूत्र में x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂), जो त्रिभुज के चिह्नयुक्त क्षेत्रफल का दोगुना है, शून्य हो जाता है। केंद्र निकालने में शून्य से भाग देना पड़ेगा। लगभग समरेख बिंदु बहुत बड़ी त्रिज्या दे सकते हैं।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 4 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।