8^(2/3)
- गणना करें
- घात xʸ
- आधार x
- 8
- घातांक y
- 2/3
- परिणाम
- 4
- सटीक रूप
- 4
जाँच का स्रोत: ∛8 = 2, 2² = 4
घात और मूल कैलकुलेटर
किसी संख्या की भिन्नात्मक या ऋणात्मक घात निकालें, या वर्गमूल, घनमूल और nवाँ मूल लें; 5√2 जैसे सटीक सरलीकृत मूल भी पाएँ।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 9
परिणाम
परिणाम: 6.349604207873
- सटीक रूप
- 4∛4
16 की घात 2/3 = 4∛4 ≈ 6.34960420787।
y = t^(2/3)
गणना कैसे होती है S
भिन्न घातांक को मूल के रूप में लिखें
हर 3 मूल का क्रम और अंश 2 घात है।
पहले घात निकालें
पूर्ण घन बाहर निकालें
दशमलव मान
घात और मूल कैलकुलेटर के बारे में
घातांक बताता है कि आधार को स्वयं से कितनी बार गुणा करें: 2⁵ = 32। नियम पूर्णांकों से आगे भी लागू हैं। ऋणात्मक घातांक व्युत्क्रम है (2⁻³ = 1/8), और भिन्न घातांक m/k का संबंध मूल से है: x^(m/k) = (ᵏ√x)^m, इसलिए 8^(2/3) = (∛8)² = 4। पूर्ण घातों को बाहर निकालकर मूल सरल करते हैं: √50 = √(25 × 2) = 5√2।
इसका सामान्य उपयोग बीजगणित के अभ्यास, मूलों के सरलीकरण और भिन्न घातों वाले सूत्रों में होता है। पहले से दिया 16^(2/3) = ∛256 = 4∛4 ≈ 6.3496 है। 54 का घनमूल 3∛2 है, क्योंकि 54 = 27 × 2।
जहाँ सटीक रूप उपलब्ध हो, उत्तर भिन्न या सरल मूल के रूप में सटीक दिया जाता है; दशमलव मान 12 स्थानों तक दिखता है। ऋणात्मक संख्याओं के विषम मूल वास्तविक हैं: (−8)^(1/3) = −2। उनके सम मूलों का वास्तविक मान नहीं होता। यहाँ 0⁰ को 1 मानते हैं।
घात और nवें मूल की गणना
xʸ में x आधार और y घात है। 14³ = 14×14×14 = 2744; ∛1728 = 12 क्योंकि 12³=1728। ऋणात्मक घात व्युत्क्रम है: 2⁻³ = 1/8। भिन्न घात m/n का अर्थ nवाँ मूल लेकर mवीं घात करना है, जहाँ वास्तविक मान मौजूद हो।
16^(2/3) = ∛256 = 4∛4 ≈ 6.349604। सटीक करणी और दशमलव अनुमान अलग रूप हैं। √16 का मुख्य मान 4 है; x²=16 समीकरण के दो हल ±4 हैं।
ऋणात्मक आधार में घटाई हुई भिन्न का हर विषम हो तो वास्तविक मूल संभव है: (−8)^(2/3)=4 और (−8)^(−1/3)=−1/2। 1/3 को उसी रूप में दें; 0.3333333333333333 सीमित दशमलव है, सटीक 1/3 नहीं।
घात और मूल के उदाहरण
| आधार x | घात y | सटीक रूप | दशमलव अनुमान |
|---|---|---|---|
| 16 | 2/3 | 4∛4 | 6.349604 |
| 8 | 2 | 64 | 64 |
| 16 | 2 | 256 | 256 |
| 4 | 2 | 16 | 16 |
| 12 | 2 | 144 | 144 |
| 24 | 2 | 576 | 576 |
| 2 | 2 | 4 | 4 |
| 3 | 3 | 27 | 27 |
| 2 | 10 | 1024 | 1024 |
| 30 | 3 | 27000 | 27000 |
| 14 | 3 | 2744 | 2744 |
| 6 | 3 | 216 | 216 |
| 2 | 8 | 256 | 256 |
| 2 | -3 | 1/8 | 0.125 |
| 10 | -2 | 1/100 | 0.01 |
| 8 | 2/3 | 4 | 4 |
| 27/8 | 2/3 | 9/4 | 2.25 |
| 2 | 0.5 | √2 | 1.414214 |
| -8 | 1/3 | −2 | -2 |
| -8 | 2/3 | 4 | 4 |
| -8 | -1/3 | −1/2 | -0.5 |
| -2 | 4 | 16 | 16 |
| -2 | 3 | −8 | -8 |
| 5 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 3 | 0 | 0 |
| 0.25 | -1/2 | 2 | 2 |
| 81 | 3/4 | 27 | 27 |
| संख्या x | मूल का क्रम n | सटीक रूप | दशमलव अनुमान |
|---|---|---|---|
| 54 | 3 | 3∛2 | 3.779763 |
| 1728 | 3 | 12 | 12 |
| 7 | 3 | ∛7 | 1.912931 |
| 216 | 3 | 6 | 6 |
| 343 | 3 | 7 | 7 |
| 729 | 3 | 9 | 9 |
| 512 | 3 | 8 | 8 |
| 4096 | 3 | 16 | 16 |
| 3375 | 3 | 15 | 15 |
| 189 | 3 | 3∛7 | 5.738794 |
| -8 | 3 | −2 | -2 |
| -32 | 5 | −2 | -2 |
| 50 | 2 | 5√2 | 7.071068 |
| 81 | 4 | 3 | 3 |
| 2 | 4 | ∜2 | 1.189207 |
| 3 | 4 | ∜3 | 1.316074 |
| 27/8 | 3 | 3/2 | 1.5 |
| 0 | 3 | 0 | 0 |
अपरिभाषित और सम्मिश्र स्थितियाँ
ऋणात्मक संख्या का सम क्रम वाला मूल वास्तविक नहीं है। उसके लिए सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर में मूल निकालें। शून्य की ऋणात्मक घात में शून्य से भाग पड़ेगा, इसलिए वह अपरिभाषित है। इस उपकरण में 0^0 का मान गणनात्मक परिपाटी से 1 रखा गया है; संदर्भ में 0^0 आने पर वही परिपाटी लागू है या नहीं, जाँचें।
आधार और घात में भिन्न तथा अभिव्यक्ति दे सकते हैं। मूल का क्रम 2–1000 का पूर्णांक है। सटीक भिन्न या करणी उपलब्ध होने पर उसे प्राथमिक रूप मानें; π जैसे अपरिमेय इनपुट का सीमित दशमलव प्रदर्शन सटीक प्रतीकात्मक उत्तर नहीं बनता। घात अज्ञात हो तो लघुगणक कैलकुलेटर उपयोग करें।
हल किए गए उदाहरण
54 का घनमूल
- गणना करें
- मूल ⁿ√x
- संख्या x
- 54
- मूल का क्रम n
- 3
- परिणाम
- 3.779763149685
- सटीक रूप
- 3∛2
जाँच का स्रोत: 54 = 27 × 2
2^−3
- गणना करें
- घात xʸ
- आधार x
- 2
- घातांक y
- -3
- परिणाम
- 0.125
- सटीक रूप
- 1/8
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
ऋणात्मक आधार, विषम मूल: (−8)^(1/3)
- गणना करें
- घात xʸ
- आधार x
- -8
- घातांक y
- 1/3
- परिणाम
- -2
- सटीक रूप
- −2
जाँच का स्रोत: (−2)³ = −8 (वास्तविक घनमूल)
सवाल
भिन्न घातांक का क्या अर्थ है?
हर मूल बताता है और अंश घात: x^(m/k) = (ᵏ√x)^m। इसलिए 8^(2/3) में पहले 8 का घनमूल 2 निकालकर उसका वर्ग 4 मिलता है; 16^(1/2) = √16 = 4। दशमलव घातांक को भिन्न में लिखने पर यही नियम लागू है: 2^0.5 = 2^(1/2) = √2 ≈ 1.41421।
ऋणात्मक घातांक का क्या अर्थ है?
ऋणात्मक घातांक धनात्मक घात का व्युत्क्रम है: x⁻ⁿ = 1/xⁿ। इसलिए 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0.125 और 10⁻² = 0.01। यह नियम घातों के भाग से आता है: 2³ ÷ 2⁶ = 2³⁻⁶ = 2⁻³। परिणाम का चिह्न आधार और घात से तय होता है। शून्य की ऋणात्मक घात अपरिभाषित है क्योंकि उसमें शून्य से भाग देना पड़ता है।
वर्गमूल को सरल कैसे करें?
संख्या को सबसे बड़े पूर्ण वर्ग और बाकी गुणक में बाँटें, फिर पूर्ण वर्ग का मूल निकालें। 50 = 25 × 2, इसलिए √50 = 5√2 ≈ 7.0711। ऊँचे मूलों के लिए पूर्ण घन, चौथी घात आदि के साथ यही तरीका है: 54 = 27 × 2, इसलिए ∛54 = 3∛2। जब मूल के भीतर ऐसा कोई गुणक न बचे, जैसे √2 या ∛4, तब मूल पूरी तरह सरल है।
0 की घात 0 को 1 क्यों मानते हैं?
परंपरा से हर x, शून्य सहित, के लिए x⁰ = 1 रखते हैं। इससे द्विपद प्रमेय और eˣ = Σ xⁿ/n! जैसी घात श्रेणी x = 0 पर भी सही रहती है; Knuth की Concrete Mathematics (§5.1) इस परिभाषा का समर्थन करती है। लेकिन सीमा के रूप में 0⁰ अनिर्धार्य है: x और y दोनों के 0 की ओर जाने पर xʸ अलग मानों की ओर जा सकता है।
क्या ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकाल सकते हैं?
वास्तविक संख्या के रूप में नहीं, क्योंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग −4 नहीं है। विषम मूल अलग हैं: ऋणात्मक संख्या का घन ऋणात्मक रहता है, इसलिए ∛(−8) = −2 और −32 का पाँचवाँ मूल −2 है। ऋणात्मक संख्याओं के सम मूल केवल सम्मिश्र संख्याओं में हैं: √(−4) = 2i। इसके लिए सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर उपयोग करें।
इस कैलकुलेटर के बारे में
स्रोत
संदर्भों से जाँच की गई
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 9 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।