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समांतर, गुणोत्तर और फ़िबोनाची अनुक्रम कैलकुलेटर

समांतर या गुणोत्तर अनुक्रम का nवाँ पद, पहले n पदों का योग, अनंत योग और सटीक फ़िबोनाची संख्याएँ तालिका के साथ निकालें।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7

फ़िबोनाची की गिनती F₀ = 0, F₁ = 1 से; बाकी की a₁ से होती है।
आज़माएँ
nवाँ पद
nवाँ पद: 39
अधिकतम दशमलव स्थान: 10; निकटतम; बराबर दूरी पर शून्य से दूर
पहले n पदों का योग
210

3 से शुरू करके हर बार 4 जोड़ने पर पद 10 का मान 39 है और पहले 10 पदों का योग 210 है।

पद और क्रमिक योग

050100150200246810पद संख्या kमान
पद aₖक्रमिक योग
शर्तें पंक्तियाँ: 10
kपद aₖक्रमिक योग Sₖ
133
2710
31121
41536
51955
62378
727105
831136
935171
1039210
गणना कैसे होती है S

  1. nवाँ पद

    an=a1+(n−1)d=3+(10−1)×4=39a_n = a_1 + (n - 1)d = 3 + (10 - 1) \times 4 = 39

  2. पहले n पदों का योग

    Sn=n2(a1+an)=102(3+39)=210S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{10}{2}\left(3 + 39\right) = 210

    पहले और अंतिम पद का जोड़ा बनाएँ: हर जोड़े का योग समान है।

  3. अनंत योग

    अशून्य पद या अंतर वाली समांतर श्रेणी का परिमित अनंत योग नहीं होता।

समांतर, गुणोत्तर और फ़िबोनाची अनुक्रम कैलकुलेटर के बारे में

समांतर अनुक्रम में हर चरण पर निश्चित अंतर d जुड़ता है, इसलिए aₙ = a₁ + (n − 1)d और पहले n पदों का योग Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 होता है। गुणोत्तर अनुक्रम में निश्चित अनुपात r से गुणा होता है, इसलिए aₙ = a₁rⁿ⁻¹ और Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r); |r| < 1 होने पर अनंत योग a₁/(1 − r) है। फ़िबोनाची संख्याएँ F₀ = 0 और F₁ = 1 से शुरू होकर पिछले दो पदों को जोड़ती हैं; उनका हर अंक सटीक निकाला जाता है।

निश्चित रकम से बढ़ती बचत, चक्रवृद्धि वृद्धि और परीक्षा के प्रश्न इन सूत्रों का उपयोग करते हैं। पहले से दिया अनुक्रम 3, 7, 11, … दसवें पद पर 39 तक पहुँचता है और उन 10 पदों का योग 210 है। आधा होते जाने वाली श्रेणी 1 + 1/2 + 1/4 + … का पहले 10 पदों का योग 1.998046875 है और अनंत योग 2 के निकट पहुँचता है।

|r| ≥ 1 वाली गुणोत्तर श्रेणी का परिमित अनंत योग नहीं होता, सिवाय उस स्थिति के जब हर पद 0 हो। समांतर श्रेणी का परिमित अनंत योग केवल तभी होता है जब हर पद 0 हो। फ़िबोनाची योग F₁ + … + Fₙ = Fₙ₊₂ − 1 है।

पहले अनुक्रम का नियम चुनें

समांतर अनुक्रम में हर बार एक ही अंतर d जुड़ता है। aₙ=a₁+(n−1)d और पहले n पदों का योग n(a₁+aₙ)/2 है। a₁=5, d=3, n=20 रखने पर a₂₀=62 और योग 670 है। n−1 की जगह n लगाने से एक पद आगे का मान मिलेगा।

गुणोत्तर अनुक्रम में हर बार r से गुणा होता है: aₙ=a₁r^(n−1)। सीमित योग a₁(1−rⁿ)/(1−r) है; r=1 में यह भिन्न न लगाएँ, सीधे na₁ लें। ऋणात्मक r से चिह्न बारी-बारी बदलते हैं। r=0 में पहले पद के बाद बाकी पद शून्य हैं।

पद और योग के जाँचे हुए मान

पहला पदअंतरnnवाँ पदयोग
34133
3451955
341039210
100-7.520-42.5575
001000
पहला पदअनुपातnnवाँ पदसीमित योगअनंत श्रेणी का योग
236486728कोई सीमित योग नहीं
10.5100.0019531251.9980468752
3-0.54-0.3751.8752
514520कोई सीमित योग नहीं
6925460कोई सीमित योग नहीं
nफ़िबोनाची पद FₙF₁ से Fₙ तक योग
000
111
5512
1055143
20676517710
100354224848179261915075927372692193078999175

अनंत योग और फ़िबोनाची का आरंभ

गैर-शून्य पहले पद की गुणोत्तर श्रेणी का अनंत योग केवल |r|<1 पर a₁/(1−r) है। |r|≥1 में सीमित n का योग निकल सकता है, लेकिन सामान्य सीमित अनंत योग नहीं। r=−1 पर आंशिक योग का बारी-बारी बदलना अभिसरण नहीं है।

फ़िबोनाची में यहाँ F₀=0, F₁=1 और Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂ है। F₁ से Fₙ तक योग Fₙ₊₂−1 है। F₁ को 0 मानने वाली क्रमांक परिपाटी से तुलना करने पर एक पद का अंतर आ सकता है; पहले शुरुआती पद मिलाएँ।

n के लिए अनुमत सीमा का पूर्णांक दें। बड़े पदों में दशमलव प्रदर्शन गोल हो सकता है; जहाँ पूर्णांक रूप दिया जाए, उसे तुलना के लिए रखें। गुणोत्तर अनुपात और अज्ञात घात जाँचने के लिए लघुगणक तथा घात कैलकुलेटर देखें।

हल किए गए उदाहरण

समांतर 3, 7, 11, … के 10 पद

अनुक्रम
अंकगणित
पहला पद a₁
3
सार्व अंतर d
4
पद संख्या n
10
nवाँ पद
39
पहले n पदों का योग
210

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

ऋणात्मक अंतर वाला समांतर अनुक्रम

अनुक्रम
अंकगणित
पहला पद a₁
100
सार्व अंतर d
-7.5
पद संख्या n
20
nवाँ पद
-42.5
पहले n पदों का योग
575

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

गुणोत्तर 2, 6, 18, … के 6 पद

अनुक्रम
गुणोत्तर
पहला पद a₁
2
सार्व अनुपात r
3
पद संख्या n
6
nवाँ पद
486
पहले n पदों का योग
728

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

आधा होती श्रेणी 1 + 1/2 + 1/4 + …

अनुक्रम
गुणोत्तर
पहला पद a₁
1
सार्व अनुपात r
0.5
पद संख्या n
10
nवाँ पद
0.001953125
पहले n पदों का योग
1.998046875
अनंत योग
2

जाँच का स्रोत: अनंत योग 1/(1 − 1/2) = 2

सवाल

समांतर अनुक्रम का nवाँ पद कैसे निकालें?

aₙ = a₁ + (n − 1)d लगाएँ: पहले पद से शुरू करके सार्व अंतर n − 1 बार जोड़ें। 3, 7, 11, … में अंतर 4 है, इसलिए 10वाँ पद 3 + 9 × 4 = 39 और 50वाँ पद 3 + 49 × 4 = 199 है। दो पदों से d निकालने के लिए उनके मानों के अंतर को स्थानों के अंतर से भाग दें: (39 − 3)/(10 − 1) = 4।

समांतर श्रेणी के योग का सूत्र क्या है?

Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, यानी पदों की संख्या को पहले और अंतिम पद के औसत से गुणा करें। 3 + 7 + … + 39 में 10 पद हैं, इसलिए S = 10 × (3 + 39)/2 = 210। जोड़े बनाने के इस विचार का श्रेय अक्सर बालक गाउस को दिया जाता है, जिन्होंने 1 से 100 का योग 101 के 50 जोड़े बनाकर 5,050 निकाला था।

गुणोत्तर श्रेणी का योग कैसे निकालें?

r ≠ 1 होने पर n पदों के लिए Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)। 2 + 6 + 18 + … के 6 पदों का योग S = 2 × (1 − 3⁶)/(1 − 3) = 2 × (−728)/(−2) = 728 है। r = 1 होने पर हर पद a₁ होता है, इसलिए Sₙ = n × a₁ और 5 + 5 + 5 + 5 = 20।

गुणोत्तर श्रेणी का अनंत योग कब होता है?

पहला पद अशून्य हो तो सार्व अनुपात −1 और 1 के बीच होना चाहिए। सभी पद शून्य हों तो किसी भी अनुपात पर योग 0 है। |r| < 1 में rⁿ घटकर 0 की ओर जाता है और योग a₁/(1 − r) की ओर: 1 + 1/2 + 1/4 + … = 1/(1 − 1/2) = 2, और 0.9 + 0.09 + 0.009 + … = 0.9/(1 − 0.1) = 1, इसलिए 0.999… = 1। अशून्य पहले पद के साथ |r| ≥ 1 में पद घटते नहीं हैं; श्रेणी असीम बढ़ती है या दोलन करती है।

100वीं फ़िबोनाची संख्या क्या है?

OEIS A000045 की तरह F₀ = 0 और F₁ = 1 से गिनने पर F₁₀₀ = 354,224,848,179,261,915,075 है, जिसमें 21 अंक हैं। क्रमिक फ़िबोनाची संख्याओं का अनुपात स्वर्ण अनुपात φ ≈ 1.618034 की ओर जाता है, इसलिए Fₙ लगभग φⁿ/√5 है और हर पद लगभग 0.209 अंक जोड़ता है।

इस कैलकुलेटर के बारे में

an=a1+(n−1)dSn=n2(a1+an)an=a1rn−1Sn=a11−rn1−r,S∞=a11−rFn=Fn−1+Fn−2\begin{gathered} a_n = a_1 + (n-1)d \\ S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) \\[10pt] a_n = a_1 r^{n-1} \\ S_n = a_1\frac{1 - r^n}{1 - r},\quad S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} \\[10pt] F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \end{gathered}

स्रोत

  1. Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, §3.6 (series)
  2. OEIS A000045 — Fibonacci numbers
  3. Wikipedia — Geometric series

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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