F = ma कैलकुलेटर: बल, घर्षण और आनत तल

F = ma से बल कैसे निकालें

यह कैलकुलेटर न्यूटन के गति के दूसरे नियम से बल, द्रव्यमान या त्वरण निकालता है, और आनत तल (inclined plane) पर रखे गुटके का त्वरण, अभिलंब बल और घर्षण भी। नियम कहता है कि नेट बल द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर है: F = ma, इसलिए a = F/m। डिफ़ॉल्ट में 1,500 kg की कार पर 3,000 N का नेट बल 3,000 ÷ 1,500 = 2 m/s² का त्वरण देता है, लगभग 0.2 g। घर्षण हो तो पहले उसे धक्के से घटाएँ: समतल ज़मीन पर a = (F − μk·mg)/m।

नेट बल किसे कहते हैं

विपरीत दिशाओं के बल एक-दूसरे से घटते हैं। अगर कार के टायर 3,500 N से आगे धकेलते हैं और वायु-प्रतिरोध व लोटनिक प्रतिरोध 500 N से पीछे, तो नेट बल 3,000 N है और कार 2 m/s² से त्वरित होती है।

भार एक अलग बल है। 1,500 kg की कार का भार 1,500 × 9.80665 = 14,710 N है, पर समतल सड़क का अभिलंब बल उसे संतुलित कर देता है, इसलिए क्षैतिज त्वरण पर उसका असर नहीं पड़ता।

एक न्यूटन 1 kg को 1 m/s² का त्वरण देता है। एक पाउंड-बल 4.4482216152605 N है, यानी मानक गुरुत्व में 1 lb का भार, इसलिए जो 100 lbf किसी वस्तु को 1 g का त्वरण देता है, उस वस्तु का द्रव्यमान 100 lb या 45.36 kg है। बल की एक और पुरानी इकाई किलोग्राम-भार (kgf) है, और कैलकुलेटर उसे भी लेता है; 1 kgf = 9.80665 N।

घर्षण बल कैसे निकालें

घर्षण, घर्षण गुणांक और अभिलंब बल का गुणनफल है: f = μN। समतल ज़मीन पर N = mg, इसलिए μk = 0.3 के साथ लकड़ी के फ़र्श पर 25 kg के लकड़ी के बक्से को स्थिर चाल से खिसकाने में 0.3 × 25 × 9.80665 = 73.55 N लगते हैं।

उसी बक्से को 100 N से धकेलें तो नेट बल 100 − 73.55 = 26.45 N है, इसलिए वह 26.45 ÷ 25 = 1.06 m/s² से त्वरित होता है।

स्थैतिक घर्षण एक सीमा है, कोई तय मान नहीं। यह उस बल के बराबर रहता है जो गति शुरू करने की कोशिश करता है, μs × N तक। उससे आगे वस्तु फिसलती है और गतिक घर्षण, μk × N, लागू हो जाता है।

OpenStax University Physics की तालिका 6.1 से अनुमानित गुणांक, पहले स्थैतिक फिर गतिक:

• सूखे कंक्रीट पर रबर: 1.0 और 0.7
• लकड़ी पर लकड़ी: 0.5 और 0.3
• बर्फ़ पर बर्फ़: 0.1 और 0.03

सतह की फ़िनिश, नमी और तापमान, सब इन संख्याओं को बदलते हैं, इसलिए अपनी सतहों पर मापा गया गुणांक अधिक भरोसेमंद है।

घर्षण वाले आनत तल पर गुटका

θ कोण की ढलान पर भार mg को दो भागों में बाँटें: mg sin θ ढलान के नीचे की ओर खींचता है और mg cos θ तल में दबाता है। अभिलंब बल दूसरे भाग को संतुलित करता है, N = mg cos θ, इसलिए गतिक घर्षण μk mg cos θ है।

30° की ढलान पर μk = 0.2 वाले 10 kg के गुटके के लिए:

1. भार: W = 10 × 9.80665 = 98.07 N।
2. ढलान के नीचे का खिंचाव: 98.07 × sin 30° = 49.03 N।
3. अभिलंब बल: 98.07 × cos 30° = 84.93 N।
4. गतिक घर्षण: 0.2 × 84.93 = 16.99 N।
5. नेट बल: 49.03 − 16.99 = 32.05 N, इसलिए a = 32.05 ÷ 10 = 3.20 m/s², ढलान के नीचे की ओर।

एक पंक्ति में, a = g(sin θ − μk cos θ)। द्रव्यमान कट जाता है, इसलिए जब घर्षण भार के समानुपाती हो तो भारी गुटका तेज़ी से नहीं फिसलता। कैलकुलेटर का आनत तल मोड डिफ़ॉल्ट रूप से यही गुटका दिखाता है और 16.99 N घर्षण के साथ 3.20 m/s² लौटाता है।

क्या गुटका फिसलेगा? विराम कोण

विराम में रखा गुटका तब फिसलना शुरू करता है जब ढलान के नीचे का खिंचाव स्थैतिक घर्षण की अधिकतम क्षमता से आगे निकल जाए: mg sin θ > μs mg cos θ, जो सरल होकर tan θ > μs बनता है। क्रांतिक कोण θc = arctan μs है, जिसे विराम कोण (angle of repose) भी कहते हैं।

लकड़ी पर लकड़ी के लिए μs = 0.5 से θc = 26.57° मिलता है। 10 kg का लकड़ी का गुटका 20° पर टिका रहता है, जहाँ घर्षण ठीक उतने 33.54 N देता है जितने चाहिए। 30° पर वह फिसलता है और μk = 0.3 के साथ 2.36 m/s² से त्वरित होता है।

जब तक गुटका टिका है, घर्षण ढलान के नीचे के खिंचाव के बराबर है, μs N के नहीं। μs = 0.7 वाली 30° ढलान पर 10 kg के गुटके को 49.03 N घर्षण चाहिए, जो 59.45 N की सीमा से कम है (HyperPhysics)। कैलकुलेटर ऐसे में "घर्षण गुटके को रोके रखता है" दिखाता है और बताता है कि 34.99° से ऊपर वह फिसलने लगेगा।

त्वरण और नेट बल की तुलना

डिफ़ॉल्ट 1,500 kg पर 3,000 N है। ढलान वाली पंक्ति ऊपर हल किया गया 10 kg, 30°, μk = 0.2 वाला गुटका है। "स्थैतिक घर्षण रोकता है" वाली पंक्ति वही गुटका है, μk = 0.5 और μs = 0.7 के साथ, जहाँ घर्षण खिंचाव को संतुलित कर देता है और नेट बल शून्य है।

आम ग़लतियाँ

• ढलान पर mg को अभिलंब बल मान लेना। N, mg cos θ है। उदाहरण में 84.93 N की जगह 98.07 N लेने से 3.20 m/s² की जगह 2.94 m/s² आता है।
• स्थैतिक घर्षण को μs N रख देना। विराम में रखे गुटके को केवल उतना घर्षण मिलता है जितना उसे चाहिए।
• पाउंड और पाउंड-बल को एक समझना। पाउंड द्रव्यमान है; पाउंड-बल 4.448 N का बल है। इसी तरह किलोग्राम द्रव्यमान है और किलोग्राम-भार बल।
• गुटका चलेगा या नहीं, यह μk से तय करना। चलना शुरू होना μs पर निर्भर है, जो ज़्यादातर सतह-जोड़ियों में अधिक होता है।
• ढलान का कोण ऊर्ध्वाधर से मापना। ऊर्ध्वाधर से 30° का कोण 60° की ढलान है, जहाँ वही गुटका 7.51 m/s² से त्वरित होता है।

इकाइयाँ, चिह्न और गुणांक

• बल N, kN, lbf या kgf में और त्वरण m/s², ft/s² या मानक गुरुत्व के गुणजों में दिया जा सकता है।
• दिशा दिखाने के लिए बल और त्वरण ऋणात्मक हो सकते हैं; द्रव्यमान धनात्मक होना चाहिए।
• स्थैतिक गुणांक वैकल्पिक है। खाली छोड़ें तो μk ही वह कोण तय करता है जिस पर गुटका फिसलना शुरू करता है।
• परिणाम SI (N, kg, m/s²) या अमेरिकी पारंपरिक इकाइयों (lbf, lb, ft/s²) में दिखाए जा सकते हैं।

किसी स्थिर त्वरण को दूरी और समय में बदलने के लिए शुद्धगतिकी कैलकुलेटर इस्तेमाल करें। वक्र पथ पर भीतर की ओर लगने वाले बल के लिए वृत्तीय गति कैलकुलेटर है।