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द्विपद और पॉइसन वितरण कैलकुलेटर

द्विपद, पॉइसन, ज्यामितीय, ऋणात्मक द्विपद और अतिज्यामितीय वितरणों के लिए P(X = k), P(X ≤ k), अंतिम क्षेत्रों और अंतरालों की प्रायिकता निकालें।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 12

0 से 1 तक दशमलव में; 30% भी भर सकते हैं।
आज़माएँ
प्रायिकता
प्रायिकता: 0.416371
अधिकतम दशमलव स्थान: 6; निकटतम; बराबर दूरी पर शून्य से दूर
प्रतिशत के रूप में
41.6371%
औसत E[X]
6
प्रसरण
4.2
मानक विचलन
2.04939

द्विपद(n = 20, p = 0.3) के लिए P(X ≤ 5) = 0.416371: 41.6371% प्रायिकता, लगभग 2.4 में 1। X का औसत 6 और मानक विचलन 2.0494 है; इनसे परिणामों की कोई सुनिश्चित सीमा तय नहीं होती।

P(X = k); उभारा गया: P(X ≤ 5)

0: 01: 12: 23: 34: 45: 56: 0.19267: 78: 89: 910: 1011: 1112: 1213: 1314: 1415: 1516: 16
गणना कैसे होती है S

  1. वितरण

    P(X=k)=(20k) 0.3k 0.720−kP(X = k) = \binom{20}{k}\,0.3^{k}\,0.7^{20 - k}

    द्विपद(n = 20, p = 0.3)

  2. गिने गए परिणाम

    P(X≤5)=∑k=05P(X=k)P(X \le 5) = \sum_{k=0}^{5} P(X = k)

  3. परिणाम

    P(X≤5)=0.416370829447P(X \le 5) = 0.416370829447

    सटीक परिमेय अंकगणित (BigInt अंश और हर), अंत में 50 सार्थक अंकों में रूपांतरण।

  4. औसत और प्रसरण

    E[X]=np=6,Var⁡(X)=np(1−p)=4.2E[X] = np = 6,\quad \operatorname{Var}(X) = np(1-p) = 4.2

द्विपद और पॉइसन वितरण कैलकुलेटर के बारे में

असतत वितरण हर पूर्णांक गिनती की प्रायिकता देता है। द्विपद वितरण समान सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयासों की सफलताएँ गिनता है: P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ। पॉइसन औसत दर λ वाली घटनाएँ गिनता है। ज्यामितीय और ऋणात्मक द्विपद पहली या rवीं सफलता तक के प्रयास गिनते हैं; अति-ज्यामितीय बिना वापस रखे निकाली गई सफल वस्तुएँ गिनता है। जहाँ संभव हो, संचयी और अंतराल प्रायिकताएँ सटीक भिन्नों से जोड़ी जाती हैं; बहुत बड़े भिन्नों पर अपूर्ण बीटा या गामा फलन उपयोग होते हैं। पॉइसन में e^(−λ) का गुणक दशमलव अंकगणित से निकाला जाता है।

डिफ़ॉल्ट में p = 0.3 के साथ 20 प्रयासों में पाँच या कम सफलताओं की संभावना 41.64% है; औसत छह सफलताएँ है। प्रति घंटे औसतन λ = 3 कॉल हों तो पॉइसन के अनुसार ठीक दो की संभावना 22.4% है। अति-ज्यामितीय वितरण से पाँच पत्तियों में कम-से-कम एक इक्के की संभावना 34.1% है।

द्विपद, ज्यामितीय और ऋणात्मक द्विपद मॉडल स्थिर सफलता प्रायिकता वाले स्वतंत्र प्रयास मानते हैं। पॉइसन प्रक्रिया स्वतंत्र वृद्धियाँ और स्थिर दर मानती है। अति-ज्यामितीय निकासियाँ निर्भर हैं, क्योंकि वस्तुएँ वापस नहीं रखी जातीं। घटनाओं का समूहों में आना या संभावना बदलना चुने हुए मॉडल को अनुपयुक्त बना सकता है। सूत्रों में B, P और H क्रमशः द्विपद, पॉइसन और अति-ज्यामितीय प्रायिकताएँ हैं; N समष्टि का आकार, K उसमें सफल वस्तुएँ और n निकाली गई वस्तुओं की संख्या है।

गिनती के सवाल के लिए सही वितरण चुनें

वितरण चुनकर प्रयासों, सफलता की संभावना और पूछी गई गिनती के मान दें। द्विपद वितरण में n स्वतंत्र प्रयास और हर बार समान p होना चाहिए। ठीक k सफलताओं की संभावना C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ है। दस निष्पक्ष उछालों में ठीक पाँच चित के लिए 252/1024 = 0.246094 मिलता है।

प्रारंभिक द्विपद उदाहरण में n = 20, p = 0.3 और X ≤ 5 पर संभावना 0.416371 है। इसमें शून्य से पाँच तक सभी गिनतियाँ जुड़ती हैं। माध्य np = 6 और प्रसरण np(1−p) = 4.2 है; माध्य होना उस गिनती के हर बार आने की गारंटी नहीं है। p को 0.3, 30% या 3/10 जैसे संगत रूप में दिया जा सकता है।

अधिकतम और कम-से-कम में सीमा का फर्क

अधिकतम पाँच में पाँच शामिल है: P(X ≤ 5) ≈ 0.4164। पाँच से कम में केवल शून्य से चार तक: P(X < 5) ≈ 0.2375। कम-से-कम पाँच का उत्तर 1−P(X ≤ 4) ≈ 0.7625, और पाँच से अधिक का 1−P(X ≤ 5) ≈ 0.5836 है।

पूरक घटनाओं में ≤ के साथ > तथा < के साथ ≥ आता है। P(X ≤ 5) और P(X ≥ 5) जोड़ने से ठीक पाँच का हिस्सा दो बार गिना जाएगा। दो सीमाओं के बीच वाली विधि दोनों सिरों को शामिल करती है।

प्वासों में दर और समय की इकाई

स्थिर औसत दर λ पर किसी अंतराल में घटनाओं की संभावना P(X=k) = e^(−λ)λᵏ/k! है। औसत तीन कॉल प्रति घंटे पर ठीक दो कॉल की संभावना 0.224042 है। आधे घंटे के लिए पहले λ को 1.5 करें; उसी अंतराल में कोई कॉल न आने की संभावना e^(−1.5) है।

प्वासों में माध्य और प्रसरण दोनों λ हैं। घटनाएँ साथ-साथ जमा होती हों या दर बदलती हो तो यह मॉडल जरूरी नहीं कि उचित हो। छोटे p और बड़े n पर λ = np वाला प्वासों द्विपद का सन्निकटन दे सकता है; यह गणितीय समानता नहीं है।

पहली या अगली सफलता तक प्रतीक्षा

ज्यामितीय वितरण पहली सफलता तक और ऋणात्मक द्विपद rवीं सफलता तक की गिनती बताता है। स्पष्ट करें कि X कुल प्रयास हैं या सफलता से पहले की विफलताएँ। तीसरी चित पाँचवें उछाल पर आए तो कुल प्रयास 5, उससे पहले विफलताएँ 2 हैं; संभावना दोनों वर्णनों में 0.1875 है।

ज्यामितीय में पहली सफलता kवें प्रयास पर आने की संभावना (1−p)ᵏ⁻¹p है। छह स्वतंत्र पासा-फेंकों के भीतर पहला छक्का आने की संभावना 1−(5/6)⁶ ≈ 0.6651 है।

उदाहरणघटनाप्रायिकता
द्विपद, 20 प्रयास, p = 0.3X ≤ 50.416371
द्विपद, 10 समान-प्रायिकता वाले प्रयासX = 50.246094
प्वासों, माध्य 3X = 20.224042
निष्पक्ष सिक्के में तीसरी चितप्रयास X = 50.187500
52 पत्तों में चार इक्के, 5 पत्ते निकालनाX ≥ 10.341158

बिना वापस रखे चयन

हाइपरज्योमितीय विकल्प में कुल N वस्तुएँ, उनमें K सफल वस्तुएँ और निकाली गई n वस्तुएँ दें। ठीक k सफलताओं की संभावना C(K,k)C(N−K,n−k)/C(N,n) है। 52 पत्तों में चार इक्कों से पाँच पत्ते बिना वापस रखे निकालने पर कम-से-कम एक इक्का आने की संभावना 0.341158 है।

हर पत्ते को वापस रखने पर प्रश्न बदल जाता है और स्वतंत्र द्विपद मॉडल उपयुक्त हो सकता है। गिनतियाँ पूर्णांक और चुने हुए समूह के अनुरूप हों। केवल C(n,k) के लिए क्रमचय-संचय, खेल के योग या लगातार चित के लिए पासा, सिक्का और पत्ते, सतत मानों के लिए सतत वितरण देखें।

हल किए गए उदाहरण

द्विपद n = 10, p = 0.5, P(X = 5)

वितरण
द्विपद
प्रयासों की संख्या n
10
सफलता की प्रायिकता p
0.5
ज्ञात करें
P(X = k)
मान k
5
प्रायिकता
0.246094
सटीक भिन्न
63/256
औसत E[X]
5
प्रसरण
2.5

जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: C(10,5)/2¹⁰ = 252/1024 = 63/256

द्विपद n = 20, p = 0.3, P(X ≤ 5) (डिफ़ॉल्ट)

वितरण
द्विपद
प्रयासों की संख्या n
20
सफलता की प्रायिकता p
0.3
ज्ञात करें
P(X ≤ k)
मान k
5
प्रायिकता
0.416371
औसत E[X]
6
प्रसरण
4.2

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

पॉइसन λ = 3, P(X = 2)

वितरण
पॉइसन
घटनाओं की औसत संख्या λ
3
ज्ञात करें
P(X = k)
मान k
2
प्रायिकता
0.224042
प्रसरण
3

जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: 4.5·e^(−3) = 0.2240418077

पॉइसन λ = 3, P(X ≥ 5)

वितरण
पॉइसन
घटनाओं की औसत संख्या λ
3
ज्ञात करें
P(X ≥ k)
मान k
5
प्रायिकता
0.184737

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

सवाल

द्विपद प्रायिकता कैसे निकालें?

n प्रयासों में k सफलताएँ रखने के तरीकों को किसी एक ऐसे क्रम की संभावना से गुणा करें: P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ। 10 निष्पक्ष उछालों में पाँच चित के लिए C(10, 5) = 252 और 0.5¹⁰ = 1/1024 है, इसलिए P = 252/1024 = 0.2461। P(X ≤ 5) जैसी संचयी प्रायिकता k = 0 से 5 तक के पद जोड़ती है।

P(X ≤ k) और P(X < k) में क्या अंतर है?

पूर्णांक गिनतियों में अंतर केवल P(X = k) का है; इसलिए P(X < 5) = P(X ≤ 4)। n = 20 और p = 0.3 पर P(X ≤ 5) = 0.4164, लेकिन P(X < 5) = 0.2375। अधिक-से-अधिक पाँच का अर्थ ≤ 5, पाँच से कम का < 5, कम-से-कम पाँच का ≥ 5 और पाँच से अधिक का > 5 है।

द्विपद की जगह पॉइसन वितरण कब उपयोग कर सकते हैं?

n बड़ा और p छोटा हो तो λ = np वाला पॉइसन एक सन्निकटन है। प्रचलित मोटे नियम n ≥ 20 और p ≤ 0.05, या n ≥ 100 और np ≤ 10 हैं; ये हर पुच्छ में समान परिशुद्धता की गारंटी नहीं देते। n = 20 और p = 0.3 पर द्विपद P(X ≤ 5) = 0.4164 देता है, जबकि λ = 6 वाला पॉइसन 0.4457 देता है। यह कैलकुलेटर द्विपद की सीधी गणना करता है और जहाँ संभव हो सटीक भिन्न उपयोग करता है; यहाँ पॉइसन सन्निकटन की जरूरत नहीं।

द्विपद की जगह अति-ज्यामितीय वितरण कब चुनें?

सीमित समष्टि से बिना वापस रखे वस्तुएँ निकालने पर चुनें, क्योंकि हर निकासी अगली की संभावना बदलती है। पाँच पत्तियों में कम-से-कम एक इक्के की संभावना अति-ज्यामितीय से 34.12% है (N = 52, K = 4, n = 5)। निकासियों को स्वतंत्र द्विपद प्रयास मानकर p = 4/52 लेने पर 32.98% मिलता है। नमूना समष्टि का बहुत छोटा हिस्सा हो, तभी दोनों करीब आते हैं।

द्विपद वितरण का औसत और प्रसरण क्या है?

औसत np और प्रसरण np(1 − p) है। p = 0.3 वाले 20 प्रयासों में औसत छह सफलताएँ, प्रसरण 4.2 और मानक विचलन √4.2 = 2.05 है। पॉइसन का औसत और प्रसरण दोनों λ हैं। गिनतियों का प्रसरण औसत से बहुत अधिक हो तो अतिप्रसरण होता है; ऋणात्मक द्विपद कभी-कभी बेहतर मॉडल हो सकता है।

इस कैलकुलेटर के बारे में

B=(nk)pk(1−p)n−kP=e−λλkk!H=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)\begin{gathered}B = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\qquad P = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\\ H = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\end{gathered}

स्रोत

  1. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.6.6.18 Binomial distribution and §1.3.6.6.19 Poisson distribution
  2. Johnson, Kemp & Kotz, Univariate Discrete Distributions, 3rd ed. (Wiley, 2005)
  3. Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, 26.5.24 (binomial CDF as an incomplete beta) and 6.5.13 (Poisson CDF as an incomplete gamma)

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 12 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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