अनुकूलता और आकस्मिकता तालिका में स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण: χ², p-मान, अपेक्षित गिनतियाँ और Cramér का V।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 5
α = 0.05 पर H₀ को अस्वीकार न करें। यदि हर श्रेणी समान रूप से संभावित हो, तो कम-से-कम इतना चरम परिणाम मिलने की प्रायिकता 0.5786 होगी। p-मान H₀ के सही होने की संभावना नहीं है, और H₀ को अस्वीकार न करना उसे सही साबित नहीं करता; वास्तविक प्रभाव पहचानने के लिए नमूना छोटा हो सकता है। सबसे बड़ा योगदान श्रेणी 1 का है (देखा गया 15, अपेक्षित 20)।
| श्रेणी | देखा गया | अपेक्षित | (O − E)²/E |
|---|---|---|---|
| 1 | 15 | 20 | 1.25 |
| 2 | 22 | 20 | 0.2 |
| 3 | 18 | 20 | 0.2 |
| 4 | 25 | 20 | 1.25 |
| 5 | 17 | 20 | 0.45 |
| 6 | 23 | 20 | 0.45 |
H₀: सभी श्रेणियों की प्रायिकताएँ समान हैं। H₁: कम-से-कम एक अलग है।
H₀ को अस्वीकार करने के लिए पर्याप्त साक्ष्य नहीं
इसी तरह χ² की तुलना क्रांतिक मान 11.0705 से करें।
Pearson का काई-वर्ग परीक्षण देखी गई गिनतियों की तुलना परिकल्पना से अपेक्षित गिनतियों से करता है: χ² = Σ(O − E)²/E। अनुकूलता परीक्षण में अपेक्षित गिनतियाँ समान या दिए गए अनुपातों से आती हैं। स्वतंत्रता अंश k − 1 हैं; डेटा से अनुमानित हर मापदंड पर एक और घटता है। स्वतंत्रता परीक्षण में आकस्मिकता तालिका के हर खाने के लिए E = पंक्ति योग × स्तंभ योग ÷ कुल योग और स्वतंत्रता अंश (r − 1)(c − 1) हैं।
यह जाँचता है कि पासा निष्पक्ष है या पसंद क्षेत्र से संबद्ध है। डिफ़ॉल्ट 120 फेंकों की गिनतियाँ (15, 22, 18, 25, 17, 23) हैं। χ² = 3.8, स्वतंत्रता अंश 5 और p = 0.579 मिलता है। χ², α = 0.05 के क्रांतिक मान 11.07 से कम है; ये गिनतियाँ निष्पक्ष पासे की परिकल्पना से असंगत नहीं हैं।
χ² सन्निकटन के लिए अपेक्षित गिनतियाँ पर्याप्त बड़ी होनी चाहिए; लगभग पाँच या अधिक एक सामान्य व्यावहारिक संकेत है। 0 से 1 तक का Cramér V तालिका में संबंध की मजबूती का माप है।
एक श्रेणी-वितरण की संगति या पंक्ति-स्तंभ की स्वतंत्रता का विकल्प चुनें। Pearson सांख्यिकी χ² = Σ(O−E)²/E है। O वास्तविक गिनती और E परिकल्पना से अपेक्षित गिनती है। अधिक बड़ा χ² अधिक असंगति दिखाता है; p-मूल्य ऊपरी पुच्छ से आता है।
प्रारंभिक 120 पासा-फेंकों की गिनतियाँ 15, 22, 18, 25, 17, 23 हैं। निष्पक्ष मॉडल में हर चेहरा 20 बार अपेक्षित है। पद 1.25, 0.2, 0.2, 1.25, 0.45, 0.45 का योग 3.8 है। पाँच df पर p ≈ 0.578555 है। 5% पर अस्वीकार न करना पासे की निष्पक्षता का प्रमाण नहीं है।
श्रेणी i में Eᵢ = कुल गिनती × परिकल्पित अनुपातᵢ है। अनुपातों का पैमाना कोई भी संगत धनात्मक पैमाना हो सकता है: 3, 2, 5 और 0.3, 0.2, 0.5 एक ही हिस्से बताते हैं। वास्तविक गिनतियों की जगह केवल प्रतिशत देना सही नहीं है, क्योंकि χ² नमूने के आकार पर निर्भर करता है।
मेंडेल उदाहरण में 315, 108, 101, 32 का योग 556 है। 9:3:3:1 के अनुसार अपेक्षित गिनतियाँ 312.75, 104.25, 104.25, 34.75 हैं। χ² ≈ 0.470024 और p ≈ 0.925426 मिलता है।
हर पंक्ति अलग लाइन में दें; कुल की पंक्ति या कुल का स्तंभ शामिल न करें। स्वतंत्रता पर हर खाने की अपेक्षा पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग है। NIST का वर्गीकरण संदर्भ इसी तरह की तालिका समझाता है।
पंक्तियाँ 42, 33, 25 और 28, 37, 35 हों तो दोनों पंक्ति योग 100, स्तंभ योग 70, 70, 60 और कुल 200 है। हर पंक्ति में E = 35, 35, 30 है। χ² ≈ 4.695238, df = 2 और p ≈ 0.095597 है।
| उदाहरण | χ² सांख्यिकी | p-मूल्य |
|---|---|---|
| प्रारंभिक मान | 3.800000 | 0.578555 |
| दो श्रेणियाँ | 4.000000 | 0.045500 |
| मेंडेल | 0.470024 | 0.925426 |
| स्वतंत्रता | 4.695238 | 0.095597 |
| दो गुणा दो | 4.000000 | 0.045500 |
संगति परीक्षण में k श्रेणियों और डेटा से अनुमानित m प्राचलों पर df = k−1−m है। स्वतंत्रता में df = (पंक्तियाँ−1)(स्तंभ−1) है। कम-से-कम एक डिग्री बचनी चाहिए। डेटा से अनुमानित प्राचल को ज्ञात मानकर छोड़ना p-मूल्य बदल सकता है।
काई-वर्ग का संदर्भ एक बड़े-नमूने का सन्निकटन है। छोटे अपेक्षित खाने इसकी विश्वसनीयता घटाते हैं। शून्य वास्तविक गिनती अपने आप समस्या नहीं; अपेक्षित गिनती देखें। अपेक्षित मान 1 से नीचे हों या 5 से नीचे बहुत-से खाने हों तो चेतावनी गंभीरता से लें। उपयुक्त श्रेणी-मिलान या छोटे 2×2 के लिए सटीक विधि अलग विचार है। यहाँ Yates सुधार लागू नहीं होता।
Cramér V = √(χ²/[N min(r−1,c−1)]) संबंध की मात्रा बताता है, दिशा या कारण नहीं। 20, 30 और 30, 20 की 2×2 तालिका में χ² = 4, N = 100 और V = 0.2 है। महत्वपूर्ण p और व्यावहारिक प्रभाव अलग बातें हैं।
एक व्यक्ति के कई उत्तरों को स्वतंत्र गिनती न मानें। एक साथ हर खाने का अलग परीक्षण करने से कई-परीक्षण की समस्या पैदा होती है। अन्य df पर क्षेत्र के लिए सतत वितरण, मापों के माध्य के लिए t परीक्षण या ANOVA चुनें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: हाथ से χ²: Σ(O − 20)²/20 = 76/20; विषम ν पर A&S 26.4.4 के बंद रूप से p; χ²₀.₉₅,₅ = 11.070 (χ² तालिका)
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: प्रचलित पाठ्यपुस्तक उदाहरण (χ² ≈ 0.47, p ≈ 0.93)
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: सभी E = 25, χ² = 4·25/25 = 4; p = erfc(√2) = 0.0455003; V = √(4/100)
जाँच का स्रोत: ν = 2 पर p = e^(−χ²/2) (A&S 26.4.5)
शून्य परिकल्पना सही होने पर देखे गए χ² जितना या उससे बड़ा सांख्यक मिलने की प्रायिकता; उदाहरणतः निष्पक्ष पासा या स्वतंत्र पंक्ति-स्तंभ चर। डिफ़ॉल्ट में p = 0.579 है: निष्पक्ष पासे के 120 फेंकों वाले लगभग 58% प्रयोग कम-से-कम इतनी असमान गिनतियाँ देंगे। बड़ा p-मान निष्पक्षता सिद्ध नहीं करता; छोटा नमूना वास्तविक पक्षपात चूक सकता है।
Cochran (1954) का प्रचलित नियम है कि कोई अपेक्षित गिनती 1 से कम न हो और अधिक-से-अधिक 20% खाने 5 से कम हों। यह अपेक्षित गिनतियों की बात है, देखी गई गिनतियों की नहीं: अपेक्षित गिनती पर्याप्त हो तो देखा गया 0 स्वीकार्य है। यहाँ किसी भी अपेक्षित गिनती के 5 से कम होते ही सूचना दिखाई जाती है। विरल डेटा में उपयुक्त सटीक या अनुकरण विधि लें; 2×2 तालिका में Fisher परीक्षण पर विचार करें। श्रेणियाँ तभी मिलाएँ जब विषय के अनुसार उचित हो।
अनुकूलता के लिए df = k − 1 − m, जहाँ k श्रेणियाँ और m डेटा से अनुमानित मापदंड हैं। छह-फलकीय निष्पक्ष पासे में 5 स्वतंत्रता अंश हैं। स्वतंत्रता परीक्षण में df = (पंक्तियाँ − 1) × (स्तंभ − 1): 2×3 तालिका में 2 और 2×2 में 1। 1, 2 और 5 स्वतंत्रता अंशों के 5% क्रांतिक मान क्रमशः 3.841, 5.991 और 11.070 हैं।
Cramér V = √(χ² / (N × (min(r, c) − 1))), χ² को 0 से 1 के संबंध-माप में बदलता है। समान अनुपातों पर केवल नमूना आकार बढ़ाने से यह χ² की तरह नहीं बढ़ता, हालाँकि नमूना अनुमान में पक्षपात हो सकता है। उदाहरण की 2×2 तालिका में χ² = 4 और N = 100 से V = 0.2 मिलता है। 2×2 के लिए 0.1, 0.3 और 0.5 छोटे, मध्यम और बड़े प्रभाव के प्रचलित संकेत हैं; बड़ी तालिकाओं में संकेत अलग होते हैं और व्यावहारिक महत्व विषय पर निर्भर है।
नहीं। समान अनुपातों पर χ² नमूना आकार के अनुपात में बढ़ता है; 1,000 प्रेक्षणों के लिए यह 100 प्रेक्षणों से दस गुना होगा। प्रतिशत भरना कुल नमूना 100 मान लेता है, जिससे अन्य आकारों का p-मान गलत होगा। अपेक्षित अनुपात किसी भी पैमाने पर भर सकते हैं: जैसे 9 3 3 1 को देखे गए कुल योग तक पुनः मापा जाता है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 5 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।