औसत (t या z), अनुपात (विल्सन या वॉल्ड) या दो औसतों के अंतर का विश्वास अंतराल निकालें; त्रुटि सीमा तथा निचली और ऊपरी सीमाएँ जानें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7
औसत का 95% विश्वास अंतराल 69.6594 से 75.1406 है (72.4 ± 2.7406)। विश्वास स्तर विधि की मान्यताओं के अंतर्गत बार-बार नमूना लेने की प्रक्रिया का वर्णन है, इस एक अंतराल की प्रायिकता नहीं।
औसत का विश्वास अंतराल, बिंदु-अनुमान में त्रुटि सीमा जोड़ने और घटाने से बनता है। त्रुटि सीमा = क्रांतिक मान × मानक त्रुटि। अनुपात के अंतराल नमूना अनुपात के आसपास असममित हो सकते हैं। औसत के लिए मानक त्रुटि s/√n और अज्ञात σ पर क्रांतिक मान n − 1 स्वतंत्रता कोटियों वाले Student t से मिलता है; ज्ञात σ पर सामान्य वितरण से। अनुपात के लिए विल्सन स्कोर डिफ़ॉल्ट है; तुलना के लिए वॉल्ड सूत्र p̂ ± z√(p̂(1 − p̂)/n) भी है।
सर्वेक्षण, प्रयोगशाला माप और A/B परीक्षणों में विश्वास अंतराल इस्तेमाल होते हैं। डिफ़ॉल्ट n = 36, औसत 72.4 और मानक विचलन 8.1 से SE = 1.35, 35 स्वतंत्रता कोटियों पर t ≈ 2.030 तथा 95% अंतराल लगभग 69.66–75.14, यानी 72.4 ± 2.74 मिलता है।
विश्वास स्तर, नमूना और वितरण संबंधी मान्यताओं के अंतर्गत विधि का वर्णन करता है; यह इस एक अंतराल में स्थिर प्राचल के होने की प्रायिकता नहीं है। विल्सन या वॉल्ड जैसे सन्निकट तरीकों की वास्तविक कवरेज ठीक नाममात्र स्तर जितनी होना आवश्यक नहीं। पहला सूत्र अज्ञात σ वाले औसत का है; दूसरा विल्सन अनुपात सीमाएँ देता है। दो-नमूना विधियों में समूह स्वतंत्र होने चाहिए; पूल्ड विधि समान प्रसरण भी मानती है।
अंतराल का प्रकार चुनकर मूल डेटा या माध्य, मानक विचलन और नमूना आकार दें। समष्टि का σ अज्ञात हो तो x̄ ± t × s/√n, df = n−1, लागू है। प्रारंभिक माध्य 72.4, s = 8.1, n = 36 पर मानक त्रुटि 1.35 है। 95% के लिए t ≈ 2.030108 से त्रुटि-सीमा 2.740646 और अंतराल 69.659354 से 75.140646 है।
समष्टि का σ सचमुच बाहर से ज्ञात हो तभी z वाला विकल्प चुनें। बड़ा नमूना अपने आप σ को ज्ञात नहीं बनाता। उसी माध्य और n पर ज्ञात σ = 8 देने से 95% अंतराल 69.786715 से 75.013285 होता है। सारांश में SD दें, पहले से निकाली गई मानक त्रुटि नहीं।
सफलताओं की गिनती x तथा कुल n दें। 1,000 में 540 सफलता पर p̂ = 0.54 है। विल्सन का 95% अंतराल 0.509015 से 0.570679, जबकि वाल्ड का लगभग 0.509110 से 0.570890 है। NIST का संदर्भ विल्सन की सीमाओं और वाल्ड के अंतर को समझाता है।
छोटे नमूने या शून्य/एक के पास अनुपात में फर्क बड़ा हो सकता है। 20 में शून्य सफलता पर वाल्ड [0,0] देता है, पर विल्सन लगभग [0,0.161125] है। कोई सफलता न दिखना वास्तविक संभावना शून्य होने का प्रमाण नहीं है।
विल्सन अंतराल p̂ के आसपास सममित नहीं है। दिखाई गई त्रुटि-सीमा उसकी चौड़ाई की आधी है; सही रिपोर्ट के लिए दोनों सीमाएँ लिखें। p̂ में वही आधी चौड़ाई जोड़ने-घटाने से विल्सन की सीमाएँ जरूरी नहीं मिलेंगी।
यह परिणाम माध्य 1 घटा माध्य 2 है। वेल्च विधि में SE = √(s₁²/n₁+s₂²/n₂) और उपयुक्त भिन्नात्मक df लिया जाता है। संयुक्त विधि समान समष्टि प्रसरण मानती है। प्रारंभिक 72.4, 8.1, 36 और 68.9, 9.4, 40 वाले समूहों का अंतर 3.5 है; वेल्च का 95% अंतराल −0.500864 से 7.500864 मिलता है।
यह शून्य को शामिल करता है, इसलिए उसी वेल्च मॉडल का दो-तरफा 5% परीक्षण अस्वीकार नहीं करता। समूह बदलने पर अंतर और सीमाओं के चिह्न बदलेंगे। एक ही व्यक्तियों के पहले-बाद के माप स्वतंत्र समूह नहीं हैं; उनमें युग्म के अंतरों का माध्य और SD लेकर एक-माध्य का अंतराल बनाएँ।
| उदाहरण | निचली सीमा | ऊपरी सीमा |
|---|---|---|
| माध्य, नमूने का मानक विचलन, प्रारंभिक माप | 69.659354 | 75.140646 |
| माध्य, ज्ञात σ = 8 | 69.786715 | 75.013285 |
| अनुपात 540/1000, विल्सन | 0.509015 | 0.570679 |
| अनुपात 0/20, विल्सन | 0.000000 | 0.161125 |
| प्रारंभिक माध्यों का अंतर, वेल्च | -0.500864 | 7.500864 |
यह दीर्घकालीन विधि का गुण है: समान शर्तों में बार-बार नमूने लेने पर लगभग 95% बनाए गए अंतराल वास्तविक प्राचल को शामिल करेंगे। यह किसी एक बने हुए अंतराल में स्थिर अज्ञात माध्य की 95% पश्च-प्रायिकता नहीं है। अंतराल सामान्य व्यक्तियों के 95% मापों का दायरा भी नहीं है।
डेटा स्वतंत्र और उपयुक्त यादृच्छिक नमूना हो। छोटे t नमूने में समष्टि की सामान्यता महत्वपूर्ण है; तेज विषमता या बाहरी मान परिणाम को प्रभावित कर सकते हैं। विश्वास स्तर बढ़ाने से अंतराल चौड़ा होता है। x पूर्णांक हो और n से बड़ा न हो। किसी खास शून्य मान के परीक्षण के लिए t परीक्षण, लक्ष्य त्रुटि-सीमा के लिए नमूना आकार देखें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: t₀.₉₇₅,₃₅ ≈ 2.030 (t-सारणी); त्रुटि सीमा = t·8.1/6
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: z₀.₉₇₅ = 1.959964; त्रुटि सीमा = z·8/6
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
विधि की मान्यताएँ सही होने पर बार-बार नमूने लेने से बने अंतरालों की कवरेज लगभग 95% होती है। डिफ़ॉल्ट में सीमा 69.66–75.14 है, लेकिन इसका अर्थ इस निश्चित सीमा में वास्तविक औसत होने की 95% प्रायिकता नहीं है। वास्तविक औसत स्थिर है; यह अंतराल उसे समेटता है या नहीं। यह 95% व्यक्तिगत मानों की सीमा भी नहीं है; उनके लिए पूर्वानुमान या सहनशीलता अंतराल अलग प्रश्न है।
क्रांतिक मान को मानक त्रुटि से गुणा करें। औसत के लिए E = t × s/√n: s = 8.1 और n = 36 पर E ≈ 2.030 × 1.35 = 2.74। अनुपात के वॉल्ड सन्निकटन में E ≈ z√(p̂(1 − p̂)/n): 1,000 उत्तरदाताओं में 54% पर लगभग 1.96 × 0.0158 = 0.031, यानी ±3.1 प्रतिशत अंक। फैलाव और क्रांतिक मान समान रहें तो नमूना आकार चार गुना करने पर त्रुटि सीमा आधी होती है।
जब समष्टि का मानक विचलन σ ज्ञात हो। नमूने से σ का अनुमान लगाया हो तो उपयुक्त नमूना-मान्यताओं के साथ t लें। छोटे नमूनों में 95% का t क्रांतिक मान अधिक है: n = 10 पर लगभग 2.262, जबकि z लगभग 1.960 है। n बढ़ने पर t, z के पास आता है: n = 36 पर 2.030 और n = 101 पर 1.984।
छोटे n या 0 अथवा 1 के पास p̂ पर वॉल्ड अंतराल p̂ ± z·SE की वास्तविक कवरेज नाममात्र स्तर से कम हो सकती है। ब्राउन, काई और दासगुप्ता (2001) ने सैकड़ों प्रेक्षणों पर भी इसका खराब व्यवहार दिखाया। विल्सन अक्सर अधिक उपयुक्त कवरेज देता है और [0, 1] से बाहर नहीं जाता, लेकिन हर स्थिति में ठीक 95% की गारंटी नहीं देता। 20 प्रयासों में 0 सफलता पर वॉल्ड [0, 0] देता है; विल्सन लगभग [0, 0.161]।
समान मान्यताओं और मिलते परीक्षण के लिए हाँ: औसतों के अंतर का 95% अंतराल 0 को न समेटे तो उसी वेल्च या पूल्ड विधि का दो-तरफ़ा α = 0.05 परीक्षण शून्य अंतर को अस्वीकार करता है। डिफ़ॉल्ट दो समूहों में 3.5 ± 4.0, लगभग −0.5 से 7.5 मिलता है। इसमें 0 शामिल है, इसलिए 5% स्तर पर सार्थक अंतर नहीं दिखता। अंतराल प्रभाव के संभावित आकार का संकेत भी देता है; सांख्यिकीय सार्थकता व्यावहारिक महत्त्व का प्रमाण नहीं है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।