भुजाओं की संख्या या एक कोण से सम बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग, प्रत्येक आंतरिक व बाह्य कोण और विकर्णों की संख्या निकालें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 8
पंचभुज (5 भुजाएँ) के आंतरिक कोणों का योग 540° है। नियमित होने पर हर आंतरिक कोण 108° और बाह्य कोण 72° है। इसमें 5 विकर्ण हैं।
5 भुजाओं वाले उत्तल बहुभुज को एक शीर्ष से 3 त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है।
n भुजाओं वाले सरल बहुभुज को n − 2 त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है, इसलिए उसके आंतरिक कोणों का योग (n − 2) × 180° है। उत्तल बहुभुज में यह विभाजन एक ही शीर्ष से किया जा सकता है। समबहुभुज के सभी कोण समान हैं: हर आंतरिक कोण (n − 2) × 180°/n और हर बाह्य कोण 360°/n है, क्योंकि उत्तल बहुभुज के बाह्य कोण एक पूरा चक्कर बनाते हैं। विकर्णों की संख्या n(n − 3)/2 है।
पहले से दिए पंचभुज के आंतरिक कोणों का योग 540° है। समबहुभुज होने पर हर आंतरिक कोण 108°, बाह्य कोण 72° और कुल 5 विकर्ण हैं। टाइल और लकड़ी के काम में उलटी गणना उपयोगी है: 140° आंतरिक कोण से 360/(180 − 140) = 9 भुजाएँ मिलती हैं। नियमित n-भुजी चौखटे के हर जोड़ का माइटर कोण 180°/n है, पंचभुज के लिए 36°।
100° जैसे कोण से भुजाओं की पूर्णांक संख्या न मिले तो निकटतम वैध बहुभुज बताया जाता है। राउंड किया इनपुट स्वीकार है यदि वह किसी सटीक कोण से मेल खाता हो: 128.57° को सप्तभुज का 900/7° माना जाता है।
भुजाओं की संख्या, सम बहुभुज का एक अंतःकोण या एक बाह्य कोण चुनकर मान दें। संख्या की विधि में 3 से 100,000 तक पूर्णांक चाहिए। प्रारंभिक पंचभुज में पाँच भुजाएँ और अंतःकोणों का योग 540° है।
बिना स्वयं को काटने वाले n भुजाओं के बहुभुज में योग (n−2)×180° है। यह कुल योग अनियमित बहुभुज पर भी लागू है। हर अलग कोण के लिए बराबर विभाजन केवल सम बहुभुज में सही है, जिसकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर हैं। OpenStax का बहुभुज पाठ यह अंतर समझाता है।
सम बहुभुज में प्रत्येक अंतःकोण 180°−360°/n, बाह्य तथा केंद्रीय कोण 360°/n और विकर्णों की संख्या n(n−3)/2 है। सभी कोण नीचे डिग्री में हैं।
| भुजाएँ | अंतःकोणों का योग | प्रत्येक अंतःकोण | प्रत्येक बाह्य कोण | विकर्ण |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 180° | 60° | 120° | 0 |
| 4 | 360° | 90° | 90° | 2 |
| 5 | 540° | 108° | 72° | 5 |
| 6 | 720° | 120° | 60° | 9 |
| 8 | 1080° | 135° | 45° | 20 |
| 12 | 1800° | 150° | 30° | 54 |
पंचभुज को तीन त्रिभुजों में बाँटने से 3×180° = 540° मिलता है। सम पंचभुज का हर अंतःकोण 540/5 = 108° और बाह्य कोण 72° है। विकर्ण गिनते समय हर शीर्ष से n−3 गैर-पड़ोसी शीर्ष जुड़ते हैं। हर विकर्ण दोनों सिरों से गिना जाता है, इसलिए कुल को दो से भाग देते हैं।
अंतःकोण I दिया हो तो n = 360/(180−I) है। I = 140° पर n = 9, कुल अंतःकोण 1260° और विकर्ण 27 हैं। बाह्य कोण E दिया हो तो n = 360/E है। E = 24° से 15 भुजाएँ और हर अंतःकोण 156° मिलता है।
इनपुट कोण में डिग्री, रेडियन, ग्रेडियन और चक्कर समर्थित हैं। इकाई गलत चुनने पर एक ही लिखी संख्या अलग आकार का अर्थ दे सकती है। किसी अनियमित बहुभुज का केवल एक कोण उसकी भुजाओं की संख्या तय नहीं करता।
सप्तभुज का सटीक अंतःकोण 900/7° ≈ 128.57142857° है। 128.57° देने पर लिखी दशमलव सटीकता से मेल होने के कारण सात भुजाएँ पहचानी जा सकती हैं। चेतावनी में गोल किए हुए इनपुट का उल्लेख होगा और आगे सही सम बहुभुज का कोण लिया जाएगा।
इसे किसी वास्तविक माप की अनिश्चितता का विश्लेषण न समझें। बहुत मोटा माप कई आकारों से मेल खा सकता है। 100° अंतःकोण से 4.5 भुजाएँ निकलती हैं; कैलकुलेटर उसे मनमाने पूर्णांक में नहीं बदलता। 180° अंतःकोण या शून्य बाह्य कोण किसी सीमित सम बहुभुज का मान्य इनपुट नहीं है।
उत्तल बहुभुज की सीमा पर एक दिशा में मुड़ते हुए बाह्य कोणों का योग 360° होता है। अवतल आकृति में मोड़ों के चिह्न का ध्यान जरूरी है। यहाँ बराबर बाह्य कोण वाला परिणाम हर अनियमित कोने का माप नहीं बताता। रेडियन में अंतःकोणों का कुल योग (n−2)π है; उसे एक केंद्रीय कोण से अलग रखें।
बहुत बड़ी संख्या पर चित्र अधिकतम 360 शीर्ष बनाता है, लेकिन गणना वास्तविक दी गई संख्या से होती है। गोल दिखता चित्र गणितीय n बदलने का संकेत नहीं। दशमलव भुजा-संख्या, सीमा से बाहर की संख्या और असंगत कोण सुधारें।
यहाँ लंबाई नहीं दी जाती, इसलिए केवल कोणों से संख्यात्मक क्षेत्रफल नहीं मिलेगा। भुजा सहित सम आकृति के लिए क्षेत्रफल और परिमाप, क्रमबद्ध कोनों के लिए निर्देशांकों से बहुभुज क्षेत्रफल, DMS लिखावट के लिए कोण परिवर्तक चुनें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: त्रिभुज का कोण योग (यूक्लिड I.32); त्रिभुज में विकर्ण नहीं होते
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: 3 × 180; 540/5; 360/5; 5·2/2
जाँच का स्रोत: 7·4/2
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: 10 × 180; 1800/12; 12·9/2
(n − 2) × 180°, जहाँ n भुजाओं की संख्या है। त्रिभुज में 180°, चतुर्भुज में 360°, पंचभुज में 540°, षट्भुज में 720° और अष्टभुज में 1,080°। नियम हर सरल बहुभुज के लिए है, चाहे नियमित हो या नहीं, क्योंकि उसे 180° वाले n − 2 त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है।
कोणों के योग को भुजाओं की संख्या से भाग दें: (n − 2) × 180°/n, यानी 180° − 360°/n। नियमित षट्भुज के कोण 120°, अष्टभुज के 135° और द्वादशभुज के 150° हैं। n बढ़ने पर कोण 180° के करीब जाता है; 1,000 भुजाओं वाले बहुभुज का हर कोण 179.64° है।
180° में से आंतरिक कोण घटाकर बाह्य कोण निकालें, फिर 360° को उससे भाग दें: n = 360°/(180° − आंतरिक कोण)। 140° से 360/40 = 9 भुजाएँ, यानी नवभुज मिलता है। परिणाम पूर्णांक न हो तो उस कोण वाला समबहुभुज नहीं है: 100° से 4.5 मिलता है।
हर उत्तल बहुभुज के लिए 360°, चाहे भुजाएँ कितनी भी हों। सीमा पर एक पूरा चक्कर चलते हुए हर बाह्य कोण जितना मुड़ने पर अंत में शुरुआत वाली दिशा आती है, यानी एक पूरा चक्कर। समबहुभुज में हर बाह्य कोण 360°/n है: पंचभुज के लिए 72°, षट्भुज के लिए 60° और अष्टभुज के लिए 45°।
n(n − 3)/2। हर n शीर्ष से n − 3 दूसरे शीर्षों तक विकर्ण जाते हैं; स्वयं तक और दोनों पड़ोसी शीर्षों तक नहीं। हर विकर्ण दोनों सिरों से गिना जाता है, इसलिए 2 से भाग देते हैं। पंचभुज में 5, षट्भुज में 9, अष्टभुज में 20 और द्वादशभुज में 54 विकर्ण हैं; त्रिभुज में कोई नहीं।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 8 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।