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महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य कैलकुलेटर

दो या अधिक पूर्ण संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (GCD, GCF या HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालें। यूक्लिड एल्गोरिदम के चरण देखें।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 6

दो या अधिक पूर्णांक, कॉमा या रिक्त स्थान से अलग करें।
आज़माएँ
महत्तम समापवर्तक
महत्तम समापवर्तक: 6
पूर्ण संख्या; निकटतम; बराबर दूरी पर शून्य से दूर
लघुत्तम समापवर्त्य
180

12, 18 और 30 को पूरा विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या 6 है; इन सभी से पूरी तरह विभाजित होने वाली सबसे छोटी धनात्मक संख्या 180 है।

वर्गों से यूक्लिड की विधि: 12 × 18 का आयत

1261812
यूक्लिड की विधि, a = q·b + r पंक्तियाँ: 3
जोड़ीabभागफल qशेषफल r
gcd(12, 18)181216
gcd(12, 18)12620
gcd(6, 30)30650
गणना कैसे होती है S

  1. gcd(12, 18) के लिए यूक्लिड की विधि

    18=1×12+612=2×6+0⇒gcd⁡=6\begin{aligned}18 &= 1 \times 12 + 6 \\ 12 &= 2 \times 6 + 0\end{aligned} \qquad \Rightarrow \gcd = 6

    भाग दें, शेषफल रखें और भाजक के साथ दोहराएँ; अंतिम अशून्य शेषफल GCD है।

  2. 18 के साथ लघुत्तम समापवर्त्य

    lcm⁡(12,18)=12×18gcd⁡(12,18)=2166=36\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{\gcd(12, 18)} = \frac{216}{6} = 36

  3. gcd(6, 30) के लिए यूक्लिड की विधि

    30=5×6+0⇒gcd⁡=6\begin{aligned}30 &= 5 \times 6 + 0\end{aligned} \qquad \Rightarrow \gcd = 6

    भाग दें, शेषफल रखें और भाजक के साथ दोहराएँ; अंतिम अशून्य शेषफल GCD है।

  4. 30 के साथ लघुत्तम समापवर्त्य

    lcm⁡(36,30)=36×30gcd⁡(36,30)=1,0806=180\operatorname{lcm}(36, 30) = \frac{36 \times 30}{\gcd(36, 30)} = \frac{1{,}080}{6} = 180

महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य कैलकुलेटर के बारे में

महत्तम समापवर्तक (GCD, जिसे GCF या HCF भी कहते हैं) वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दी गई हर संख्या को पूरा विभाजित करता है। लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जो सभी दी गई संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होती है। यूक्लिड की विधि में बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग देने पर मिले शेषफल से बार-बार बदला जाता है: gcd(1071, 462) = gcd(462, 147) = gcd(147, 21) = 21। फिर हर जोड़ी के लिए lcm(a, b) = |a × b| ÷ gcd(a, b) लगाकर LCM मिलता है।

भिन्न को सरल करने में GCD काम आता है; भिन्न जोड़ने और नियमित अंतराल पर होने वाली घटनाओं का अगला साझा समय निकालने में LCM। पहले से दी गई संख्याओं 12, 18 और 30 का GCD 6 और LCM 180 है। इसलिए हर 12, 18 और 30 दिन पर होने वाली घटनाएँ अगली बार 180 दिन बाद एक साथ होंगी।

दो संख्याओं के लिए कैलकुलेटर विस्तारित यूक्लिड विधि से बेज़ू सर्वसमिका भी देता है: 21 = 1071 × (−3) + 462 × 7। ऋणात्मक संख्याओं का निरपेक्ष मान लिया जाता है, gcd(0, n) = n होता है और सूची में 0 होने पर LCM 0 होता है।

महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य निकालें

GCD, GCF और HCF साझा सबसे बड़े धनात्मक भाजक के नाम हैं। 12, 18 और 30 का GCD 6 और LCM 180 है। दो गैर-शून्य संख्याओं के लिए LCM(a,b) = |ab|/GCD(a,b) है; तीन संख्याओं का सीधा गुणनफल GCD से भाग देना यह सूत्र नहीं है।

Euclid विधि में बड़ी संख्या को छोटी से भाग देकर शेष पर प्रक्रिया दोहराएँ। 1071 = 2×462+147, 462 = 3×147+21 और 147 = 7×21 है, इसलिए GCD 21 है। अंतिम गैर-शून्य शेष ही उत्तर है।

जाँचे हुए पूर्णांक

पूर्णांक सूचीमहत्तम समापवर्तकलघुत्तम समापवर्त्य
12, 18, 306180
1071, 4622123562
240, 4625520
17, 311527
0, 550
-12, 18636
8, 12424
7, 14, 21742
1, 1001100
0, -24, 36120
6, 666
99991, 9998919998000099

शून्य, ऋणात्मक संख्या और गुणांक

चिह्न हटाने से भाज्यता नहीं बदलती: −12 और 18 के लिए GCD 6, LCM 36 है। 0 और 5 के लिए GCD 5 और LCM 0 है। सभी इनपुट शून्य हों तो सबसे बड़ा साझा भाजक तय नहीं होता; उसे सामान्य धनात्मक उत्तर न मानें।

Bézout पहचान में ax+by = GCD(a,b) है। 240 और 46 के लिए 240×(−9)+46×47 = 2; ये गुणांक अद्वितीय नहीं हैं।

2–100 पूर्णांक कॉमा, खाली जगह या पंक्ति से अलग दें। सूची में कॉमा विभाजक है, इसलिए एक हज़ार को 1000 लिखें, 1,000 नहीं। गुणनखंड देखने के लिए अभाज्य गुणनखंड कैलकुलेटर, और अनुपात घटाने के लिए अनुपात कैलकुलेटर देखें।

हल किए गए उदाहरण

12, 18 और 30

पूर्ण संख्याएँ
12, 18, 30
महत्तम समापवर्तक
6
लघुत्तम समापवर्त्य
180

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

यूक्लिड का उदाहरण: 1071 और 462

पूर्ण संख्याएँ
1071, 462
महत्तम समापवर्तक
21
लघुत्तम समापवर्त्य
23,562
बेज़ू सर्वसमिका
21 = 1071·(−3) + 462·7

जाँच का स्रोत: Wikipedia — Euclidean algorithm का हल किया उदाहरण (gcd 21)

240 और 46 पर विस्तारित यूक्लिड विधि

पूर्ण संख्याएँ
240 46
महत्तम समापवर्तक
2
लघुत्तम समापवर्त्य
5,520
बेज़ू सर्वसमिका
2 = 240·(−9) + 46·47

जाँच का स्रोत: Wikipedia — Extended Euclidean algorithm की उदाहरण तालिका (s = −9, t = 47) से जाँच

सह-अभाज्य 17 और 31

पूर्ण संख्याएँ
17, 31
महत्तम समापवर्तक
1
लघुत्तम समापवर्त्य
527

जाँच का स्रोत: दोनों अभाज्य हैं, इसलिए gcd 1 और lcm 17 × 31 = 527

सवाल

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक कैसे निकालें?

यूक्लिड की विधि अपनाएँ: बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें, शेषफल रखें और फिर भाजक तथा शेषफल के साथ यही प्रक्रिया दोहराएँ। शेषफल 0 होने से पहले मिला अंतिम अशून्य शेषफल GCD है। 1071 और 462 के लिए: 1071 = 2 × 462 + 147, 462 = 3 × 147 + 21, 147 = 7 × 21 + 0, इसलिए GCD 21 है। लामे के प्रमेय के अनुसार छोटी संख्या के हर अंक के लिए अधिकतम पाँच चरण पर्याप्त हैं।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे निकालें?

उनके गुणनफल को उनके GCD से भाग दें: lcm(a, b) = a × b ÷ gcd(a, b)। 12 और 18 का gcd = 6 है, इसलिए lcm = 216 ÷ 6 = 36। अधिक संख्याओं के लिए एक-एक जोड़ी लें: lcm(36, 30) = 1,080 ÷ 6 = 180, इसलिए 12, 18 और 30 का LCM 180 है। गुणजों की सूची (12, 24, 36 …) से भी यही उत्तर मिलेगा, लेकिन बड़ी संख्याओं के लिए यह धीमा तरीका है।

GCD, GCF और HCF में क्या अंतर है?

कोई अंतर नहीं है: greatest common divisor (GCD), greatest common factor (GCF) और highest common factor (HCF), महत्तम समापवर्तक के तीन अंग्रेज़ी नाम हैं। स्कूलों में अमेरिका में सामान्यतः GCF और ब्रिटेन तथा भारत में HCF कहा जाता है। संख्या सिद्धांत और प्रोग्रामिंग में GCD प्रचलित है, जैसे Python का math.gcd। नाम कोई भी हो, gcd(12, 18) = 6 ही है।

GCD और LCM का क्या संबंध है?

दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए gcd(a, b) × lcm(a, b) = a × b होता है। 12 और 18 के लिए 6 × 36 = 216 = 12 × 18। अभाज्य गुणनखंडों में GCD हर साझा अभाज्य की छोटी घात लेता है और LCM हर अभाज्य की बड़ी घात: 12 = 2² × 3 और 18 = 2 × 3², इसलिए GCD = 2 × 3 = 6 और LCM = 2² × 3² = 36। गुणनफल का यह नियम तीन या अधिक संख्याओं पर लागू नहीं होता।

दो संख्याएँ सह-अभाज्य होने का क्या अर्थ है?

उनका GCD 1 है, यानी कोई साझा अभाज्य गुणनखंड नहीं है और उनका LCM उनका गुणनफल है। 17 और 31 सह-अभाज्य हैं और उनका LCM 17 × 31 = 527 है। 8 और 15 भी सह-अभाज्य हैं, भले ही दोनों में से कोई अभाज्य न हो। किसी भिन्न का अंश और हर सह-अभाज्य हों, तभी वह अपने सरलतम रूप में होता है।

इस कैलकुलेटर के बारे में

gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b, a mod b)gcd⁡(a,0)=∣a∣lcm⁡(a,b)=∣a b∣gcd⁡(a,b)\begin{gathered} \gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b) \\[6pt] \gcd(a, 0) = |a| \\[10pt] \operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a\,b|}{\gcd(a, b)} \end{gathered}

स्रोत

  1. Euclid, Elements, Book VII, Propositions 1–2
  2. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 2, §4.5.2 (Euclid's algorithm)
  3. Wikipedia — Extended Euclidean algorithm (worked example 240, 46)

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 6 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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