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आव्यूह कैलकुलेटर

6 × 6 तक के आव्यूह का सारणिक, प्रतिलोम, रैंक और लघुकृत पंक्ति सोपान रूप, हर पंक्ति संक्रिया के साथ; साथ में परिवर्त, गुणनफल और योग, सटीक भिन्नों में।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 8

हर पंक्ति अलग लिखें (या ; से अलग करें), प्रविष्टियाँ रिक्त स्थान या अल्पविराम से अलग करें; 1/2 जैसे भिन्न मान्य हैं
आज़माएँ
परिणाम
[0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
परिणाम: [0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
det A
−1
A की कोटि
3
A का ट्रेस
5

A का प्रतिलोम है (det A = −1); प्रतिलोम A का प्रभाव उलटता है, इसलिए A × A⁻¹ इकाई आव्यूह है।

A⁻¹

001−2133−1−5
A⁻¹ पंक्तियाँ: 3
स्तंभ 1स्तंभ 2स्तंभ 3
001
−213
3−1−5
गणना कैसे होती है S

  1. [A | I] लिखें

    [211100132010100001]\left[\begin{array}{ccc|ccc}2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

  2. स्तंभ 1

    R1↔R2, R2←R2−2R1, R3←R3−R1  ⟶  [1320100−5−31−200−3−20−11]R_{1} \leftrightarrow R_{2},\ R_{2} \leftarrow R_{2} - 2R_{1},\ R_{3} \leftarrow R_{3} - R_{1} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]

  3. स्तंभ 2

    R2←−15 R2, R1←R1−3R2, R3←R3+3R2  ⟶  [101535−1500135−1525000−15−35151]R_{2} \leftarrow -\frac{1}{5}\,R_{2},\ R_{1} \leftarrow R_{1} - 3R_{2},\ R_{3} \leftarrow R_{3} + 3R_{2} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]

  4. स्तंभ 3

    R3←−5 R3, R1←R1−15R3, R2←R2−35R3  ⟶  [100001010−2130013−1−5]R_{3} \leftarrow -5\,R_{3},\ R_{1} \leftarrow R_{1} - \frac{1}{5}R_{3},\ R_{2} \leftarrow R_{2} - \frac{3}{5}R_{3} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & -5\end{array}\right]

  5. दायाँ आधा प्रतिलोम है

    A−1=[001−2133−1−5]A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & -5\end{array}\right]

    जाँच: A × A⁻¹ = I।

आव्यूह कैलकुलेटर के बारे में

कैलकुलेटर 6 × 6 तक के आव्यूहों पर सटीक भिन्नों में काम करता है। प्रतिलोम और लघुकृत पंक्ति सोपान रूप गाउस–जॉर्डन विलोपन से मिलते हैं: [A | I] पर पंक्ति संक्रियाएँ करते हैं, जब तक बायाँ आधा इकाई आव्यूह न बने; तब दायाँ आधा A⁻¹ होता है। सारणिक अग्र विलोपन के पिवटों का गुणनफल है, जिसका चिह्न हर पंक्ति अदला-बदली पर बदलता है। कोटि पिवटों की संख्या है और गुणनफल की प्रविष्टियाँ (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ हैं।

रैखिक बीजगणित, त्रिविमीय ग्राफ़िक्स रूपांतरण और समीकरणों के निकाय इसके सामान्य उपयोग हैं। पहले से दिए आव्यूह [2 1 1; 1 3 2; 1 0 0] का सारणिक −1 है, इसलिए उसका प्रतिलोम मौजूद है। प्रतिलोम [0 0 1; −2 1 3; 3 −1 −5] की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं।

हर पंक्ति अलग लिखें और प्रविष्टियों को रिक्त स्थान या अल्पविराम से अलग करें; 1/2 जैसे भिन्न सटीक रहते हैं। सारणिक 0 वाला वर्ग आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है: उसका प्रतिलोम नहीं होता और कोटि उसके क्रम से कम होती है।

पंक्ति और स्तंभ का क्रम जाँचें

एक पंक्ति के मान खाली जगह या कॉमा से, पंक्तियाँ नई पंक्ति या अर्धविराम से दें। सभी पंक्तियों में समान स्तंभ हों; आकार 6×6 तक है। जोड़ या घटाव के लिए दोनों आव्यूह समान आकार के चाहिए। AB में A के स्तंभों की संख्या B की पंक्तियों के बराबर होनी चाहिए।

गुणन का हर तत्व पंक्ति × स्तंभ के गुणनफलों का योग है, उसी स्थान के दो तत्वों का गुणनफल नहीं। A=[1 2;3 4], B=[5 6;7 8] में AB=[19 22;43 50], लेकिन BA=[23 34;31 46] है। क्रम बदलने पर उत्तर बदलता है।

संक्रिया और सहगुणक की जाँच

संक्रियाABपरिणाम
गुणा[1, 2; 3, 4][5, 6; 7, 8][19, 22; 43, 50]
गुणा[5, 6; 7, 8][1, 2; 3, 4][23, 34; 31, 46]
व्युत्क्रम[4, 7; 2, 6]—[3/5, −7/10; −1/5, 2/5]
पंक्ति-स्तंभ अदला-बदली[1, 2, 3; 4, 5, 6]—[1, 4; 2, 5; 3, 6]
घटाव[1/2, 1; 0, 2][1/3, 1; 1, 0][1/6, 0; −1, 2]
जोड़[1, 2; 3, 4][5, 6; 7, 8][6, 8; 10, 12]
स्थान (i,j)उप-आव्यूहउप-आव्यूह का सारणिकचिह्नसहगुणक
1,1[3, 2; 0, 0]0+0
1,2[1, 2; 1, 0]−2−2
1,3[1, 3; 1, 0]−3+−3
2,1[1, 1; 0, 0]0−0
2,2[2, 1; 1, 0]−1+−1
2,3[2, 1; 1, 0]−1−1
3,1[1, 1; 3, 2]−1+−1
3,2[2, 1; 1, 2]3−−3
3,3[2, 1; 1, 3]5+5

व्युत्क्रम कैसे जाँचें

[4 7;2 6] का सारणिक 4×6−7×2=10 है। 2×2 व्युत्क्रम में विकर्ण तत्व बदलें, बाकी दोनों के चिह्न उलटें और सारणिक से भाग दें: [3/5 −7/10;−1/5 2/5]। A को इस परिणाम से गुणा करने पर इकाई आव्यूह मिलता है। सारणिक 0 हो तो व्युत्क्रम नहीं है; rank और RREF फिर भी निकाले जा सकते हैं।

सहगुणक Cᵢⱼ बनाने के लिए पंक्ति i तथा स्तंभ j हटाकर बचे उप-आव्यूह का सारणिक लें और (−1)^(i+j) से गुणा करें। ऊपर की सहगुणक सारणी इसी प्रक्रिया की जाँच है; उपकरण में अलग सहगुणक बटन नहीं है। सहगुणक आव्यूह का transpose adjugate है, जिसे गैर-शून्य सारणिक से भाग देने पर व्युत्क्रम मिलता है। MIT का पाठ यह संबंध समझाता है।

भिन्न सटीक रखें; अपरिमेय इनपुट का दशमलव सन्निकटन होता है। हल निकालने के लिए रैखिक समीकरण, और ज्यामितीय दिशा के लिए सदिश कैलकुलेटर देखें।

हल किए गए उदाहरण

पहले से दिए 3 × 3 का प्रतिलोम

गणना करें
A का प्रतिलोम
आव्यूह A
2 1 1 1 3 2 1 0 0
परिणाम
[0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
det A
-1

जाँच का स्रोत: सहखंड विस्तार से सारणिक = −1

[4 7; 2 6] का प्रतिलोम

गणना करें
A का प्रतिलोम
आव्यूह A
4 7 2 6
परिणाम
[3/5, −7/10; −1/5, 2/5]
det A
10

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: (1/(ad − bc))·[d −b; −c a] = (1/10)·[6 −7; −2 4]

पहले से दिए 3 × 3 का सारणिक

गणना करें
A का सारणिक
आव्यूह A
2 1 1 1 3 2 1 0 0
परिणाम
−1
det A
-1
A का ट्रेस
5

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: सहखंड विस्तार: 2·0 − 1·(0 − 2) + 1·(0 − 3) = −1

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह की कोटि (सीमांत स्थिति)

गणना करें
A की कोटि
आव्यूह A
1 2 3 2 4 6 1 1 1
परिणाम
2
A की कोटि
2
det A
0

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: पंक्ति 2 = 2 × पंक्ति 1

सवाल

आव्यूह का प्रतिलोम कैसे निकालें?

A के साथ इकाई आव्यूह लिखें: [A | I]। पंक्ति संक्रियाएँ तब तक करें जब तक बायाँ आधा I न बने; तब दायाँ आधा A⁻¹ है। 2 × 2 आव्यूह [a b; c d] का छोटा सूत्र A⁻¹ = (1/(ad − bc)) × [d −b; −c a] है। [4 7; 2 6] में ad − bc = 24 − 14 = 10, इसलिए A⁻¹ = [3/5 −7/10; −1/5 2/5]।

3 × 3 आव्यूह का सारणिक कैसे निकालें?

किसी पंक्ति या स्तंभ के अनुसार विस्तार करें: हर प्रविष्टि को उसके 2 × 2 उपसारणिक से गुणा करें और चिह्न बारी-बारी बदलें। [2 1 1; 1 3 2; 1 0 0] में अंतिम पंक्ति सबसे तेज़ है, क्योंकि दो प्रविष्टियाँ 0 हैं: det = 1 × (1 × 2 − 1 × 3) = −1। बड़े आव्यूहों में पंक्ति विलोपन बहुत कम संक्रियाओं से वही उत्तर देता है।

आव्यूह का प्रतिलोम कब नहीं होता?

जब सारणिक 0 हो, यानी कोई पंक्ति या स्तंभ अन्य का रैखिक संयोजन हो। [1 2 3; 2 4 6; 1 1 1] में पंक्ति 2, पंक्ति 1 की दोगुनी है, इसलिए कोटि 3 के बजाय 2 और सारणिक 0 है। ऐसा आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है; उस पर बने Ax = b निकाय के या तो कोई हल नहीं होते या अनंत हल होते हैं।

दो आव्यूहों को कैसे गुणा करें?

AB की हर प्रविष्टि A की एक पंक्ति और B के एक स्तंभ के संगत गुणनफलों का योग है: (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ। [1 2; 3 4] × [5 6; 7 8] में ऊपर-बाईं प्रविष्टि 1 × 5 + 2 × 7 = 19 और गुणनफल [19 22; 43 50] है। A के स्तंभों की संख्या B की पंक्तियों के बराबर होनी चाहिए। क्रम भी महत्वपूर्ण है: यहाँ BA = [23 34; 31 46]।

लघुकृत पंक्ति सोपान रूप क्या है?

लघुकृत पंक्ति सोपान रूप (RREF) में हर अशून्य पंक्ति की पहली अशून्य प्रविष्टि 1 होती है, वह अपने स्तंभ की अकेली अशून्य प्रविष्टि होती है, नीचे जाते हुए अग्र 1 दाईं ओर बढ़ते हैं और शून्य पंक्तियाँ सबसे नीचे होती हैं। हर आव्यूह का केवल एक RREF है; अग्र 1 की संख्या उसकी कोटि है। संवर्धित आव्यूह से हल सीधे पढ़ते हैं: [1 0 0 −8; 0 1 0 1; 0 0 1 −2] का अर्थ x = −8, y = 1, z = −2 है।

इस कैलकुलेटर के बारे में

A−1: [A∣I]⟶[I∣A−1](AB)ij=∑kaikbkj\begin{gathered} A^{-1}:\ [A \mid I] \longrightarrow [I \mid A^{-1}] \\[10pt] (AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj} \end{gathered}

स्रोत

  1. Wikipedia — Gaussian elimination (row reduction and the RREF example)
  2. Wolfram MathWorld — Matrix Inverse
  3. G. Strang, Introduction to Linear Algebra (5th ed.), chapters 2–3

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 8 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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