गतिज और स्थितिज ऊर्जा, कार्य और शक्ति कैलकुलेटर

गतिज ऊर्जा का सूत्र: KE = ½mv²

यह कैलकुलेटर छह सूत्र हल करता है: गतिज ऊर्जा, गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, स्प्रिंग ऊर्जा, कार्य, शक्ति और गिरने के बाद की चाल, और हर सूत्र में किसी भी राशि के लिए। डिफ़ॉल्ट में 20 m/s (72 km/h) से चलती 1,000 kg की कार की गतिज ऊर्जा 200,000 J है, यानी 0.0556 kWh।

गतिज ऊर्जा द्रव्यमान और चाल के वर्ग के गुणनफल का आधा है: KE = ½mv², जो जूल में आती है जब द्रव्यमान किलोग्राम में और चाल मीटर प्रति सेकंड में हो। 3 m/s से चलती 2 kg की गेंद में ½ × 2 × 3² = 9 J है। यह पूरी वस्तु के चलने की ऊर्जा है और प्रकाश की चाल से बहुत कम चालों पर लागू होती है।

चाल का वर्ग होता है, इसलिए चाल दोगुनी करने पर ऊर्जा चार गुनी हो जाती है। OpenStax का गतिज ऊर्जा वाला पाठ और उदाहरण हल करता है।

20 m/s (72 km/h) पर 1,000 kg की कार में 200,000 J है; 40 m/s पर 800,000 J। वर्ग करने से पहले km/h को 3.6 से भाग देकर m/s में बदलें।

गतिज ऊर्जा से चाल या द्रव्यमान

पुनर्व्यवस्थित करने पर v = √(2KE/m) और m = 2KE/v²। 3,500 J गतिज ऊर्जा वाला 70 kg का धावक √(2 × 3,500 ÷ 70) = √100 = 10 m/s से दौड़ रहा है। कैलकुलेटर के उदाहरण में 100 J गतिज ऊर्जा वाली 0.145 kg की गेंद √(200 ÷ 0.145) = 37.14 m/s से चलती है।

विराम में रखी वस्तु की गतिज ऊर्जा शून्य है, द्रव्यमान कुछ भी हो, इसलिए चाल शून्य हो तो KE से द्रव्यमान नहीं निकाला जा सकता।

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा: PE = mgh

द्रव्यमान m को ऊँचाई h तक उठाने से PE = mgh संचित होती है। मानक गुरुत्व g = 9.80665 m/s² के साथ 50 kg को 10 m ऊपर उठाने पर 50 × 9.80665 × 10 = 4,903.325 J संचित होती है, लगभग 4.9 kJ।

ऊँचाई आपके चुने संदर्भ स्तर से मापी जाती है, जैसे फ़र्श। केवल स्थितिज ऊर्जा के अंतर मायने रखते हैं, इसलिए किसी प्रश्न में हर स्थिति के लिए एक ही संदर्भ लें। OpenStax का स्थितिज ऊर्जा वाला पाठ इसका कारण समझाता है।

स्प्रिंग ऊर्जा: E = ½kx²

कठोरता k वाली स्प्रिंग को x खींचने या दबाने पर उसमें E = ½kx² संचित होती है, जिसे प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा कहते हैं। 10 cm (0.1 m) दबाई गई 200 N/m की स्प्रिंग ½ × 200 × 0.1² = 1 J संचित करती है; 20 cm दबाने पर 4 J।

सूत्र हुक का नियम, F = kx, मानता है, जो तभी लागू है जब स्प्रिंग अपनी प्रत्यास्थ सीमा में रहे और मूल लंबाई पर लौट आए।

बल द्वारा किया गया कार्य: W = Fd cos θ

किसी वस्तु को दूरी d तक ले जाने वाला स्थिर बल F W = Fd cos θ कार्य करता है, जहाँ θ बल और गति की दिशा के बीच का कोण है। 5 m पर 100 N के लिए कार्य 0° पर 500 J, 60° पर 250 J, 90° पर शून्य और 180° पर −500 J है।

ऋणात्मक कार्य का अर्थ है कि बल गति का विरोध करता है, जैसे घर्षण और ब्रेक करते हैं। कार्य-ऊर्जा प्रमेय कहता है कि किसी वस्तु पर किया गया नेट कार्य उसकी गतिज ऊर्जा के परिवर्तन के बराबर है।

इसलिए 20 m/s से चलती 1,000 kg की कार को रोकने में −200,000 J का नेट कार्य लगता है। अगर ब्रेक स्थिर 8,000 N लगाते हैं, तो कार 200,000 ÷ 8,000 = 25 m में रुकती है।

शक्ति का सूत्र: P = W/t

शक्ति कार्य करने की दर है: P = W/t, वाट में, जहाँ 1 W का अर्थ 1 J प्रति सेकंड है। 60 s में 3,600 J देना 3,600 ÷ 60 = 60 W है। पुनर्व्यवस्थित करने पर W = Pt और t = W/P।

एक घंटे चलने वाला 100 W का उपकरण 100 × 3,600 = 360,000 J स्थानांतरित करता है, जो 0.1 kWh है। एक किलोवाट-घंटा 3,600,000 J है, और बिजली के बिल की एक "यूनिट" यही 1 kWh है। OpenStax का शक्ति वाला पाठ इस औसत शक्ति को तात्क्षणिक दर से अलग करता है।

गिरने के बाद की चाल: v = √(2gh)

वायु-प्रतिरोध न हो तो गिरने में खोई स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा बन जाती है: mgh = ½mv², इसलिए द्रव्यमान कट जाता है। विरामावस्था से v = √(2gh)। 20 m की गिरावट √(2 × 9.80665 × 20) ≈ 19.81 m/s पर ख़त्म होती है।

प्रारंभिक चाल v₀ हो तो तल पर चाल √(v₀² + 2gh) है। टकराने की चाल ऊँचाई के वर्गमूल के साथ बढ़ती है: 80 m से, यानी चार गुनी ऊँचाई से, यह लगभग 39.61 m/s है, केवल दोगुनी। वास्तविक गिरावट में कर्षण के कारण चाल कम होती है।

आम ग़लतियाँ

• चाल को km/h में छोड़ देना। ½mv² जूल तभी देता है जब चाल m/s में हो। 72 km/h वाली कार के लिए 20 की जगह 72 लेने से ऊर्जा 12.96 गुना अधिक आती है।
• संदर्भ स्तर मिलाना। PE के प्रश्न में हर ऊँचाई एक ही शून्य से मापें।
• θ को ज़मीन की ढलान मान लेना। W = Fd cos θ में θ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
• शक्ति और ऊर्जा को एक समझना। वाट दर मापता है; जूल और किलोवाट-घंटा मात्रा मापते हैं।
• हर चलती चीज़ पर ½mv² लगाना। घूमता पहिया घूर्णन ऊर्जा ½Iω² भी संचित करता है, और प्रकाश के निकट की चालों के लिए आपेक्षिक सूत्र चाहिए।

इनपुट और इकाइयाँ

• सूत्र चुनें, फिर हल करने की राशि; बाकी राशियाँ इनपुट बन जाती हैं।
• स्थितिज ऊर्जा और गिरावट मानक गुरुत्व 9.80665 m/s² लेते हैं, जब तक आप दूसरा g न दें।
• ऊर्जा J, kJ, Wh, kWh या kcal में, शक्ति W, kW या hp में, और बल N, kN या lbf में दी जा सकती है। परिणाम SI इकाइयों में आते हैं।
• कार्य का कोण 0° से 180° तक, डिग्री या रेडियन में।

चिह्न सहित गति और समय के लिए शुद्धगतिकी कैलकुलेटर इस्तेमाल करें; टक्करों के लिए संवेग और संघट्ट कैलकुलेटर। विद्युत शक्ति P = VI ओम के नियम वाले कैलकुलेटर में है, और बलाघूर्ण व rpm से इंजन की शक्ति अश्वशक्ति कैलकुलेटर से मिलती है।