पासों के योग, सिक्के में चित और लगातार चित, गड्डी से खास पत्ते चुनने और पाँच-पत्तों वाले पोकर हाथों की सटीक प्रायिकता भिन्न तथा N में 1 के रूप में जानें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 9
हर एक में 6 फलक वाले 2 पासों के 36 समान रूप से संभावित परिणामों में से 6 में योग ठीक 7 है: 16.67% प्रायिकता।
एक पासे के वितरण का N − 1 बार सटीक पूर्णांकों में संवलन करके गिनती मिलती है। हर नया पासा S गिनतियों की चलती खिड़की जोड़ता है।
पासों के योग की सटीक गिनती होती है: एक पासे के वितरण का N − 1 बार संवलन करके S फलकों वाले N पासों के सभी Sᴺ परिणाम गिने जाते हैं, उनका अनुकरण नहीं किया जाता। सिक्का उछालने पर चित की संख्या द्विपद वितरण का पालन करती है; लगातार चित के लिए Feller का पुनरावृत्ति संबंध उपयोग होता है। ताश के पत्ते वापस नहीं रखे जाते, इसलिए अति-ज्यामितीय वितरण लागू होता है। पोकर हाथ सभी 2,598,960 संभव पाँच-पत्ती हाथों में गिने जाते हैं।
डिफ़ॉल्ट में दो छह-फलकीय पासों का योग 7 है, जो सबसे संभावित योग है: 36 में से 6 परिणाम, यानी 1/6। तीन पासों पर कम-से-कम 11 का योग 216 में से 108 परिणामों में मिलता है, ठीक आधी संभावना। निष्पक्ष सिक्के के 10 उछालों में कम-से-कम तीन लगातार चित आने की संभावना लगभग 50.8% है।
परिणाम निष्पक्ष पासे, स्वतंत्र सिक्का उछाल और अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी मानते हैं। पक्षपाती सिक्के के लिए चित की संभावना भरें। संख्याएँ बहुत बड़ी न हों तो उत्तर सटीक भिन्न में मिलता है। सूत्रों में T पासों का योग है, Wₜ योग t देने वाले परिणामों की संख्या, S हर पासे के फलकों की संख्या, N पासों की संख्या, X विशेष पत्तियों की संख्या, D गड्डी का आकार, K गड्डी की विशेष पत्तियाँ और n निकाली गई पत्तियों की संख्या है। R लगातार चित के सबसे लंबे क्रम की लंबाई है।
खेल का विकल्प और पूछा गया परिणाम चुनें। N स्वतंत्र निष्पक्ष S-मुखी पासों के Sᴺ क्रमबद्ध परिणाम हैं। दो छह-मुखी पासों में 36 परिणामों में छह का योग 7 होता है। इसलिए प्रारंभिक P(योग = 7) = 1/6 ≈ 0.166666667, अर्थात लगभग 16.67%, है।
सभी योग समान संभावित नहीं हैं। 2 केवल (1,1) से और 7 छह अलग जोड़ों से आता है। वास्तविक पासे अलग-अलग माने जाते हैं, इसलिए (1,6) और (6,1) अलग परिणाम हैं। अधिकतम, कम-से-कम या बीच की सीमा चुनते समय लक्ष्य का शामिल होना जाँचें।
तीन पासों में कुल 216 परिणाम हैं। 10 और 11, प्रत्येक 27 बार बनते हैं। कम-से-कम 11 की संभावना 108/216 = 0.5 है। चार पासों का योग 10 से 14, दोनों सहित, आने की संभावना 595/1296 ≈ 0.459104938 है।
पासों की संख्या और प्रत्येक के मुख वही मॉडल तय करते हैं। मॉडल में सभी पासे निष्पक्ष और स्वतंत्र हैं। किसी भारित पासे या जुड़े हुए भौतिक प्रयोग पर यही संख्या सीधे लागू नहीं होगी।
n उछालों में ठीक k चित की संभावना C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ है। चित की संभावना 0.6 हो और पाँच उछाल में तीन चित चाहिए तो 0.3456 मिलता है। इस खाने में 0.6 का अर्थ 60% है; केवल 60 न भरें।
लगातार चित का सवाल अलग है। दस निष्पक्ष उछालों में कहीं भी कम-से-कम तीन लगातार चित की संभावना 65/128 = 0.5078125 है। केवल किसी एक तय स्थान पर HHH की संभावना 1/8 है। संभावित शुरुआतें आपस में मिल सकती हैं, इसलिए उनकी संभावनाएँ सीधे जोड़ना कई परिणाम दो बार गिनता है।
नौ चित के बाद भी स्वतंत्र निष्पक्ष दसवें उछाल में चित की संभावना आधी है। पिछली लगातार घटनाएँ अगले उछाल को पट का ऋणी नहीं बनातीं।
| उदाहरण | प्रायिकता |
|---|---|
| प्रारंभिक मान | 0.166666667 |
| तीन पासों का ऊपरी योग | 0.500000000 |
| चार पासों के योग की सीमा | 0.459104938 |
| निष्पक्ष सिक्के की लगातार चित | 0.507812500 |
| पाँच पत्तों में इक्का | 0.341158002 |
| पोकर का रॉयल फ्लश | 0.000001539 |
कुल पत्ते D, विशेष पत्ते K और निकाले गए n दें। ठीक k विशेष पत्तों की संभावना C(K,k)C(D−K,n−k)/C(D,n) है। 52 में चार इक्के और पाँच पत्तों के हाथ में कम-से-कम एक इक्के की संभावना 1−C(48,5)/C(52,5) ≈ 0.341158002 है।
हर निकला इक्का अगले चयन की संभावना बदलता है। पत्ते वापस न रखने वाले सवाल को स्वतंत्र p = 4/52 वाले पाँच प्रयासों की तरह न लें। सफलता का समूह भी सही चुनें: चार इक्के, तेरह दिल या बारह चित्र-पत्ते अलग प्रश्न हैं।
सामान्य 52-पत्ती, बिना जोकर वाले हाथों की संख्या 2,598,960 है। चार रॉयल फ्लश हैं, इसलिए संभावना लगभग 0.000001539 है। अलग श्रेणियाँ एक-दूसरे से अलग गिनी जाती हैं; रॉयल फ्लश को दूसरे स्ट्रेट फ्लश में दोबारा नहीं जोड़ते।
ये पहले मिले पाँच पत्तों की श्रेणी की संभावनाएँ हैं, विरोधियों के विरुद्ध जीत की संभावना नहीं। बदले गए पत्ते, सामुदायिक पत्ते या वाइल्ड कार्ड अलग मॉडल माँगते हैं। अन्य गिनती के लिए द्विपद-प्वासों वितरण, परिणामों के साथ लाभ-हानि के लिए अपेक्षित मान देखें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: 36 क्रमबद्ध परिणामों में से 6 का योग 7 है (दो पासों की मानक तालिका)
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
7: 36 समान रूप से संभावित परिणामों में से 6 (1+6, 2+5, 3+4 और इनके उलटे क्रम) यह योग देते हैं। संभावना 1/6 या 16.67% है। सबसे छोटे 2 और सबसे बड़े 12 के लिए केवल एक-एक परिणाम है: 1/36 या 2.78%। तीन पासों में 10 और 11 सबसे संभावित हैं; हर एक के 216 में से 27 परिणाम, यानी 12.5%।
निष्पक्ष सिक्के में 1,024 में 1, क्योंकि हर उछाल संभावना को आधा करता है: (1/2)¹⁰ = 1/1,024, लगभग 0.098%। लगातार 9 चित आने के बाद भी दसवें उछाल पर चित की संभावना 50% रहती है; उछाल स्वतंत्र हैं। अब पट आना ही चाहिए, यह सोचना जुआरी का भ्रम है। 10 उछालों का कोई अन्य निश्चित क्रम, जैसे HTHTHTHTHT, भी उतना ही असंभावित है।
2,598,960 पाँच-पत्ती हाथों में 4 रॉयल फ़्लश (649,740 में 1), 624 एक रैंक की चार पत्तियाँ (4,165 में 1) और 3,744 फ़ुल हाउस (लगभग 694 में 1) हैं। एक जोड़ी 42.26% हाथों में आती है, जबकि 50.12% में हाई कार्ड से बेहतर कुछ नहीं होता। ये पहली बाँटी गई पाँच पत्तियों की मानक गिनतियाँ हैं; पत्तियाँ बदलना या साझा पत्तियाँ शामिल नहीं हैं।
पूरी 52-पत्ती गड्डी से एक पत्ती निकालने पर 4/52 = 1/13, लगभग 7.69%। पाँच पत्तियों में कम-से-कम एक इक्के के लिए कोई इक्का न आने की संभावना घटाएँ: 1 − C(48, 5)/C(52, 5) = 34.12%। बिना वापस रखे पत्तियाँ निकालना अति-ज्यामितीय वितरण का पालन करता है; इक्का निकलने पर अगले इक्के की संभावना घटती है।
10 स्वतंत्र निष्पक्ष उछालों में कम-से-कम तीन लगातार चित आने की संभावना 65/128 = 50.78% है। क्रम पहले से आठवें उछाल तक किसी भी स्थान से शुरू हो सकता है। इसलिए लंबे वास्तविक क्रमों में ऐसे सिलसिले स्वाभाविक हैं; केवल एक सिलसिला सिक्के के पक्षपाती होने का मजबूत प्रमाण नहीं है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 9 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।