द्विविमीय या त्रिविमीय सदिशों के अदिश और सदिश गुणनफल, परिमाण, बीच का कोण और एक का दूसरे पर प्रक्षेप आरेख के साथ निकालें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 5
a · b = 32, इसलिए सदिश 12.9332° के कोण पर हैं; उनके बनाए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 7.34847 है।
arccos(a·b / |a||b|) के बराबर, लेकिन लगभग समांतर सदिशों में भी सटीक रहता है।
अदिश गुणनफल में संगत घटकों को गुणा करके जोड़ते हैं: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃। दो त्रिविमीय सदिशों का सदिश गुणनफल दोनों के लंबवत होता है और उसका परिमाण उनके बनाए समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। उनके बीच का कोण θ = atan2(|a × b|, a · b) से निकलता है; यह arccos(a · b / |a||b|) के बराबर है, लेकिन लगभग समांतर सदिशों में अधिक सटीक रहता है। b पर a का प्रक्षेप (a · b / |b|²) b है।
सामान्य उपयोग भौतिकी में कार्य और बलाघूर्ण, त्रिविमीय ग्राफ़िक्स और रैखिक बीजगणित हैं। पहले से दिए सदिश a = (1, 2, 3) और b = (4, 5, 6) के लिए a · b = 32, a × b = (−3, 6, −3) और कोण लगभग 12.93° है।
दोनों सदिश अशून्य हों तो 0 अदिश गुणनफल का अर्थ है कि वे लंबवत हैं। शून्य सदिश गुणनफल का अर्थ है कि वे समांतर हैं या एक सदिश शून्य है। द्विविमीय मोड में दोनों xy-तल में होते हैं, इसलिए उनका सदिश गुणनफल z-दिशा में है: (3, 4) × (4, −3) = (0, 0, −25)।
डॉट गुणनफल a·b=Σaᵢbᵢ एक संख्या है। a=(2,−1,3) और b=(1,4,−2) में 2−4−6=−8। ऋणात्मक डॉट गुणनफल से दोनों गैर-शून्य सदिशों का कोण 90° से बड़ा है। शून्य डॉट गुणनफल गैर-शून्य सदिशों की लंबवत दिशा बताता है।
क्रॉस गुणनफल 3D में दोनों पर लंबवत सदिश है; दिशा दाएँ हाथ के नियम से तय होती है। क्रम पलटने पर चिह्न बदलता है। 2D में दिखता aₓbᵧ−aᵧbₓ, तल के बाहर का z घटक है। उसका परिमाण दोनों सदिशों से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।
| आयाम | a | b | डॉट गुणनफल | क्रॉस गुणनफल |
|---|---|---|---|---|
| 3D | (1, 2, 3) | (4, 5, 6) | 32 | (−3, 6, −3) |
| 2D | (3, 4) | (4, −3) | 0 | (0, 0, −25) |
| 2D | (1, 0) | (−2, 0) | −2 | (0, 0, 0) |
| 3D | (1, 2, 3) | (2, 4, 6) | 28 | (0, 0, 0) |
कोण के लिए θ=atan2(|a×b|,a·b) इस्तेमाल होता है। शून्य सदिश की दिशा नहीं होती, इसलिए उसका दूसरे सदिश से कोण अपरिभाषित है। उसे 0° का साधारण समानांतर मामला न मानें।
a का b पर सदिश प्रक्षेपण [(a·b)/(b·b)]b है; उसका अदिश प्रक्षेपण (a·b)/|b| है। उलटे b का a पर प्रक्षेपण अलग हो सकता है। b शून्य हो तो यह भाग परिभाषित नहीं है। OpenStax का डॉट गुणनफल पाठ कोण और प्रक्षेपण का संबंध देता है।
2D या 3D चुनकर दोनों सदिशों में उतने ही घटक दें। सभी घटकों को पहले संगत इकाइयों में बदलें; उपकरण लिखे मानों को अपने आप m और cm के बीच नहीं बदलता। आव्यूह रूप में काम करने के लिए आव्यूह कैलकुलेटर देखें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: हाथ की गणना
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: 3·4 + 4·(−3) = 0; 3·(−3) − 4·4 = −25
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: b = 2a, इसलिए a × b = 0 और θ = 0
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: a·b/|b| = 8/4; कोण atan2(3, 2) = 56.3099324740202…°
संगत घटकों को गुणा करके जोड़ें: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃। (1, 2, 3) · (4, 5, 6) के लिए 4 + 10 + 18 = 32। अदिश गुणनफल |a||b| cos θ के बराबर भी है, इसलिए कोण 90° से कम हो तो धनात्मक, ठीक 90° पर 0 और उससे अधिक पर ऋणात्मक है: (1, 0) · (−2, 0) = −2।
a = (a₁, a₂, a₃) और b = (b₁, b₂, b₃) के लिए a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)। (1, 2, 3) × (4, 5, 6) से (12 − 15, 12 − 6, 5 − 8) = (−3, 6, −3) मिलता है। परिणाम दोनों सदिशों के लंबवत है, दाएँ हाथ के नियम का पालन करता है और क्रम बदलने पर चिह्न बदलता है: b × a = (3, −6, 3)।
cos θ = (a · b)/(|a||b|) लगाएँ। (1, 2, 3) और (4, 5, 6) के लिए cos θ = 32/(√14 × √77) ≈ 0.974632, इसलिए θ ≈ 12.93°। 0° या 180° के पास arccos रूप की परिशुद्धता घटती है, इसलिए कैलकुलेटर समान θ = atan2(|a × b|, a · b) उपयोग करता है; विलियम काहन फ़्लोटिंग-पॉइंट पूर्णांकन पर अपने नोट्स में यही रूप सुझाते हैं।
दोनों सदिश लंबवत हैं, बशर्ते कोई भी शून्य सदिश न हो। (3, 4) · (4, −3) = 12 − 12 = 0, इसलिए वे ठीक 90° पर मिलते हैं। भौतिकी में यही जाँच बताती है कि गति के लंबवत बल से कार्य नहीं होता, क्योंकि कार्य बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है।
b पर a का अदिश प्रक्षेप b की दिशा में a की चिह्न सहित लंबाई a · b / |b| है। सदिश प्रक्षेप इस लंबाई को b के इकाई सदिश से गुणा करता है: (a · b / |b|²) b। (2, 3) को (4, 0) पर प्रक्षेपित करने पर अदिश प्रक्षेप 8/4 = 2 और सदिश प्रक्षेप (2, 0) है। ऋणात्मक अदिश प्रक्षेप बताता है कि a कुछ हद तक b की विपरीत दिशा में है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 5 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।